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La matematica en el desarrollo de las habilidades intelectuales


Enviado por Lic. Yoisell Rodríguez Núñez y Otros Autores
Código ISPN de la Publicación: EEkEAAyZuyxkEXvjRd


Resumen: En este trabajo, mas que conceptuar y hablar teoricamente de las habilidades intelectuales; pretendemos mediante ejemplos sencillos ver como se propicia el tratamiento de estas habilidades desde la ensenanza, desde los problemas en el aprendizaje.


   

  

Índice

  Introducción. 5

Desarrollo. 6

¿Qué son las habilidades intelectuales? ¿Cómo clasificarlas?. 7

Ejemplo 1.- 10

Ejemplo 2.- 13

Ejemplo 3.- 14

Ejemplo 4.- 14

Ejemplo 5.- 15

Otras experiencias. 15

Conclusiones y Recomendaciones. 17

Bibliografía. 18

 

“…no se puede separar el saber, del saber hacer, porque siempre saber es saber hacer algo, no puede haber un conocimiento sin una habilidad, sin un saber hacer”.  

N.F. Talízina

 

Resumen:

En este trabajo, más que conceptuar y hablar teóricamente de las habilidades intelectuales; pretendemos mediante ejemplos sencillos ver como se propicia el tratamiento de estas habilidades desde la enseñanza, desde los problemas en el aprendizaje.

Introducción

Días atrás una vecina me llamó preocupada; pues su niña no sabía identificar los ángulos entre paralelas. La madre apoyándose en un esquema le nombraba a su hija los tipos de ángulos y la frustración la embargó cuando ésta no podía memorizarlos.

Mi sugerencia fue, que ampliara las formas de representación de esos ángulos; que no siempre las rectas paralelas aparecieran en forma horizontal con respecto a la hoja, sino que fueran: oblicuas, perpendiculares. Que aprendiera a identificar dichos ángulos en: paralelogramos, trapecios y en cualquier otra figura. Le pedí además que la niña tratara de interpretar las definiciones de cada una de las parejas de ángulos, encontrándolos en cada representación y que utilizando movimientos del plano partiera de cada ángulo y obtuviera: su correspondiente, su alterno y sus conjugados. Al  obrar de esta forma la madre satisfecha obtuvo los resultados deseados.  

Una de las misiones principales de la escuela es enseñar a resolver problemas, pero su enfoque ha sido erróneo en muchas ocasiones, porque no se ha tenido en cuenta los contenidos desde la óptica del desarrollo de las habilidades intelectuales. Con frecuencia, muchos docentes en su afán de facilitar la asimilación; simplifican demasiado las problemáticas, divorciándolas de la vida, de los retos, de las motivaciones para la actividad del aprendizaje.  O lo que es peor sobre la base de impulsos desde la enseñanza, se merma el protagonismo de los estudiantes, por lo que los esfuerzos pedagógicos no son adecuados.

También ocurre que con algunos profesores noveles los resultados son frustrantes, debido a que no tienen en cuenta el papel contribuyente de las acciones pedagógicas al tratamiento acertado para el desarrollo de las habilidades intelectuales de sus educandos. 

 

Desarrollo

La enseñanza productiva desgraciadamente es aun una aspiración. La vida ha demostrado que no hay partes sencillas, que las cosas siempre se relacionan con otras; sin embargo a la hora de concebir un sistema de ejercicios que supuestamente pueden ser de entrenamiento del conocimiento, o desde la solución de problemáticas; su diseño se realiza en orden lineal de dificultad.

¿Será acaso que todos los problemas con que tropezamos en nuestra existencia aparecen ordenados de menor a mayor complejidad? ¿Cómo debe aparecer planteada esta situación dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje, en virtud de las habilidades intelectuales? ¿Cómo garantizar las condiciones previas para la búsqueda de vías y posibles soluciones a las interrogantes planteadas?

En el proceso docente educativo influyen sobremanera: la voluntad de aprender por el sujeto (el estudiante) y la intencionalidad del profesor por favorecer la adquisición de conocimientos que permita el crecimiento educativo de los primeros.

Los estudiantes, dentro de la gran diversidad de conceptos que reciben, deben lograr distinguir  los aspectos esenciales de la matemática para la carrera: ¿Bajo qué condiciones se aplican los métodos estudiados? ¿Cuáles son sus insuficiencias y que otras variantes pudieran utilizarse?

Deben aprender a aprender y aprender a pensar; para ello en cada situación que se le presente tienen que elaborar los mediadores más adecuados, en el sentido de Vigotsky, como son: los signos, el lenguaje, los diagramas, los esquemas, los mapas conceptuales, los resúmenes, los diagramas en bloques, los algoritmos de trabajo, etc. Luego desarrollar un plan para resolver el problema, resolver el mismo y lo más importante la posible aplicación en otros ámbitos.

 

¿Qué son las habilidades intelectuales? ¿Cómo clasificarlas?

Sistema de habilidades.

La estructuración de los programas para la formación de un profesional poseedor de un pensamiento creativo, presupone la determinación de un sistema de habilidades gracias al cual se expresen los conocimientos.

Son  capacidades humanas orientadas hacia las ideas rectoras que permiten revelar o profundizar en la esencia del conocimiento, las que se forman apoyándose en las leyes del proceso de asimilación y con la calidad programada previamente y están orientadas hacia la solución de tareas y la formación de los modos de actuación profesional que permitan el logro de los objetivos de la especialidad y de la sociedad en general.

Ellas pueden clasificarse en docentes, lógicas del pensamiento y específicas:

En el caso de las matemáticas proponemos trabajar con las habilidades siguientes:

a)     de auto educación:

-         esclarecimiento del contenido que se ha de asimilar.

-         procesamiento de ese contenido.

-         fijación organizada del contenido.

-         autocontrol de la actividad de estudio desplegada.

-         interacción con el grupo y la universidad.

-         valoración desde un punto de vista humano de los procesos y resultados.

b)     operaciones y métodos del pensamiento:

-         análisis y síntesis.

-         abstracción y concretización.

-         globalización y particularización.

-         deducción e inducción.

c)      lógico formales:

-         comparar.

-         identificar.

-         definir.

-         clasificar

-         describir

-         explicar

-         interpretar

-         predecir

-         Transferir.

d)     lógico dialécticas:

-         revelar las manifestaciones de las leyes y las categorías generales del desarrollo en el objeto de la matemática y la profesión, mediante el enfoque dialéctico de los conocimientos y durante el proceso de formación de las restantes habilidades por todas las disciplinas como tendencia esencial en la dirección del proceso docente -educativo.

-         leyes:

·        de la unidad y lucha de contrarios.

·        de los cambios cuantitativos en cualitativos.

·        de la negación de la negación.

-         categorías:

·        la esencia y el fenómeno.

·        lo general y lo singular.

·        el todo y la parte.

·        el contenido y la forma.

·        la causa y el efecto.

·        la necesidad y la casualidad.

·        la posibilidad y la realidad.

e)     específicas de la profesión:

   Abstracción matemática, uso de asistentes y de software.

La Dra. Herminia Hernández  presenta su Sistema Básico de Habilidades Matemáticas como parte del contenido de su Tesis Doctoral  (Hernández, 1989).

Como integrantes de dicho Sistema Básico se encuentran las habilidades DEFINIR y DEMOSTRAR, "que son las que por su propia naturaleza establecen el vínculo primario con el sistema de conocimientos"  (Hernández, 1989), así como IDENTIFICAR, INTERPRETAR, RECODIFICAR, GRAFICAR, ALGORITMIZAR  y   CALCULAR   mediante  las  cuales  hacemos  matemática,  es   decir resolvemos problemas matemáticos en su acepción amplia. El  sistema de estas habilidades fue ampliado posteriormente con la habilidad MODELAR  y más recientemente con las habilidades COMPARAR, RESOLVER, APROXIMAR y OPTIMIZAR.

En nuestras aulas naturalmente tenemos alumnos con diferentes caracteres, diferentes niveles del conocimiento y diferentes ritmos de aprendizaje. ¿Puede la asignatura matemática potenciar el desarrollo de las habilidades intelectuales de nuestros alumnos?

I.- Algunas dificultades generales que presentan nuestros alumnos por temas y sugerencias para superarlas:

I.1 Estudian por tipos de ejercicios y no contemplan la teoría; por tanto sus resultados no son consecuentes. Puede pedírseles la elaboración de mapas conceptuales, y que señalen en dichos mapas, mediante que operaciones o propiedades pasar de un concepto a otro.

Ejemplo 1.-

Dentro de la matemática básica es problemático encontrar la inversa de cierta función; fundamentalmente porque no existe dominio pleno del concepto e interpretación de función y sus propiedades.

 Previendo eso el profesor  “Y” orientó a sus alumnos:

-      el análisis de varias situaciones problémicas en cuya solución era evidente el uso de funciones inversas, la búsqueda o creación de otras que resuelvan problemas de la vida.

-      el estudio de las funciones elementales.

-       la caracterización de las propiedades de funciones, especialmente la inyectividad y sobreyectividad, la representación de estas propiedades en diferentes formas.

-      una propuesta de ejercicios del tema que involucren este tipo de funciones.

 Algunos estudiantes incumplieron estas tareas debido a despreocupación y desmotivación. Mientras que otros hicieron un esfuerzo y participaron de manera activa.  

El profesor “Y” no se desanimó con los incumplidores, evaluó y registró el esfuerzo realizado. Resaltó los ejemplos positivos en clases y  solicitó colaboración para encontrar la inversa de la función elemental   . Con el objetivo de vincular el contenido con la práctica planteó que en este caso los valores de la  representaba una magnitud temporal y la variable  la velocidad de un cuerpo.

Conocidas las características del grupo, el profesor promovió  una tormenta de ideas entre sus discípulos.

Seleccionó un escribano, para que anotara todos los planteamientos de sus alumnos.

Algunos jóvenes sin apenas analizar y con ganas de complacer al profesor dieron ideas erróneas, esto le sirvió a “Y” para pedir que las justificaran. El propio grupo y hasta ellos mismos se percataban del error después de analizar con más calma.

Uno de los muchachos más retraídos del aula intervino, pidió tener en cuenta el orden de las operaciones. El profesor “Y” preguntó ¿por qué?; el alumno argumentó:  

- cada operación matemática tiene su correspondiente inversa, para hacer dependiente a la variable independiente, debemos tener en cuenta las operaciones en que se ve envuelta.

Fue muy positiva la participación de este alumno, marcó un cambio en su actitud, mostró también como la sabiduría está al alcance de todos. Luego se materializó grupalmente la idea y la vía.

Varios compañeros se ofrecieron, el profesor solicitó utilizar los cuadernos, al poco tiempo, el ejercicio estaba realizado por varias vías, las cuales fueron discutidas en pizarra y de este modo quedaran seleccionadas las más elegantes. Se puntualizó si la ecuación obtenida representaba también una función y se pidió  la representación conjunta de la función y su inversa en un mismo sistema de coordenadas.

Para terminar esta parte de la actividad, “Y” fue seleccionando al azar miembros del grupo con el fin de realizar una conclusión del ejercicio mediante las interrogantes siguientes: ¿Cuáles eran los pasos principales para hallar la inversa de una función? ¿Cuál era la relación entre sus gráficas y cuando se consideraba realizado el ejercicio? ¿Toda función tiene inversa?

Rápidamente fue comprendida la importancia de las propiedades de inyectividad y sobreyectividad para que una función tenga inversa.

Partiendo de aquellas curvas no inyectivas, ¿Qué hacer para garantizar que lo fueran aunque sea en algún tramo? Acto seguido fueron trazadas por partes varias curvas y en esos intervalos se garantizó la inyectividad y por tanto la existencia de sus inversas.

 

a.                 b.   

d.               e.  

 c.  

 

En elaboración conjunta se concluyó que no siempre puede despejarse la variable independiente, ello depende de las transformaciones equivalentes, y de la inyectividad de la función, pero en la búsqueda de funciones inversas pueden aprovecharse las propiedades de las funciones tales como: interceptos, paridad, periodicidad, asíntotas, extremos.

Como estudio independiente se orientó realizar ejercicios empleando el asistente matemático (Derive, Matlab) en:

-         La determinación de inversas de funciones,

-         Para demostrar que la composición de una función y su inversa es la función identidad.

-         Para comparar los gráficos de los pares de funciones inversas.

-         Para estimar la gráfica de la inversa de una función a partir de la gráfica de la directa.

Al concluir la clase “Y” nos aseguró que los alumnos llegaron a la esencia del conocimiento por varios motivos:

Se logró motivar a todos, por la calidad de sus intervenciones tanto para plantear dudas como para responderlas, demostrando flexibilidad en el pensamiento de la mayoría, por la atmósfera positiva reinante en el aula, donde dan ganas de estar y aprender.

Ejemplo 2.-

El tema formas cuadráticas del Álgebra Lineal, es uno de los contenidos más trascendentes para todo el cálculo superior. Las principales dificultades con que tropiezan los estudiantes desde el punto de vista de las habilidades intelectuales radican en:

- La identificación de las formas cuadráticas.

- La transferencia dentro de la forma de representación analítica a la   

  forma canónica.

El profesor “L” orientó a sus estudiantes consultar la bibliografía y la conferencia antes de la clase practica, realizar ejercicios sobre cambio de bases, diagonalización de matrices, valores y vectores propios.

Cómo primera actividad de la  clase “L” propuso el siguiente ejercicio:

2.1- Identifique cual de las siguientes expresiones representa una forma cuadrática y dentro de ellas señale las canónicas.

a.               

b.               

c.                 

d.                  

e.                 

f.                     

 

2.1.1 ¿Será posible representar dichas formas cuadráticas  geométricamente?

2.1.2  Cree otras formas cuadráticas.

El profesor generó un debate en sus estudiantes cuando estos trataban de responder justificando.

La segunda actividad propuesta fue:

Ejemplo 3.-

Compruebe que si se tiene la base Q= perteneciente a  los vectores  y  - son ortogonales.

El profesor “L” planteó esta situación para motivar a los estudiantes a indagar en la justificación del método de ortogonalización de vectores en , extensible a otras dimensiones.

 La mayoría de los estudiantes no sabía abordar este ejercicio, el profesor ofreció impulsos sobre cómo caracterizar los vectores ortogonales.

Una vez que toda el aula comprendió que debía aplicar la definición de producto escalar, “L” le dio ánimo para trabajar lo más independientemente posible.

Ejemplo 4.-

Normalizar las siguientes bases:

a.     

b.      

Los propósitos de “L” se vieron realizados cuando sus alumnos realizaron rápidamente el inciso a., la dificultad más seria del inciso b. radicaba en la obtención del tercer vector ortogonal. El profesor preguntó que hacer en ese caso, varios discípulos le respondieron con el procedimiento correcto.

Para finalizar este ejercicio se orientó a los alumnos que comprobaran la ortogonalidad de los vectores y así practicaran el cálculo del producto escalar.

Ejemplo 5.-  

Dada la expresión:  

a.      Escríbela en notación matricial.

b.     Diagonalice la matriz asociada al endomorfismo.

c.      Sustituya en la forma cuadrática anterior los valores de  e  en función de los vectores propios normalizados de la matriz asociada.  

d.     Aplicando un asistente matemático, represente gráficamente la forma cuadrática original y la resultante, compárelas.

Con este ejercicio, el profesor desea que sus alumnos interpreten la lógica del proceso de canonización de las formas cuadráticas, que comprueben usando asistentes matemáticos la interpretación geométrica del proceso como una rotación de los ejes. Además de constituir esto,  el vínculo fundamental con la motivación posterior al estudio de las características geométricas de los hipercuerpos y de las superficies.

 

Otras experiencias

  1. En el capítulo de integración, específicamente integrales indefinidas, el profesor debe dar impulsos que permita que los estudiantes centren su atención en los tipos de funciones y su relación con las operaciones derivada y antiderivada. Debe lograr que se identifiquen los tipos de funciones en el integrando y a partir de sus propiedades, seleccionar entonces el procedimiento adecuado para hallar la integral. En la clase deben propiciarse debates de modo tal que los estudiantes lleguen a conclusiones acerca de las características como funciones de las primitivas y que en la integración indefinida muchas veces,  se parte de funciones de un tipo y se llegan a tipos diferentes.

Pensamos que es importante la representación de las curvas integrales para contribuir a la interpretación del concepto de integral indefinida.

Si en el pasado las habilidades de cálculo de integrales ocupaban la mayor parte del peso de la docencia, en el presente, con el apoyo de los asistentes matemáticos creemos que el centro de gravedad radica en la interpretación del concepto de integral indefinida, su definición, propiedades, y la modelación para la resolución de problemas.

  1. En el  tema de las integrales definidas debe aprovecharse la ocasión para definir un nuevo tipo de función: la función integral  de un modo más enérgico que lo realizado hasta el presente.

En ocasiones con asistentes matemáticos, en otras sin ellos es importante que el alumno opere con esta nueva definición. Esto facilitará la demostración de los teoremas fundamentales del cálculo integral. Propiciando el debate, y con los impulsos del profesor, los alumnos pueden llegar a la esencia de esta temática.

Conclusiones y Recomendaciones

Cuando se tiene en cuenta el trabajo de forma conciente para el desarrollo de las habilidades intelectuales, los alumnos mejoran su aprovechamiento docente, son copartícipes de los conocimientos y logran una mayor madurez en el hacer.

La motivación alcanzada por la mayoría, la flexibilidad del pensamiento puesta de manifiesto en la calidad de las ideas expuestas en los debates propiciaron un grado de solidaridad por compartir los contenidos así como las ansias por buscar la verdad.

Es recomendable insistir en el cumplimiento por etapas del trabajo con las habilidades intelectuales, cuidando que el accionar de los estudiantes sea el motivo y motor para la adquisición de los conocimientos.

 

Bibliografía

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GARCÍA-SÍPIDO M. (Coordinadora), 1992. Diagnóstico sobre la Formación inicial y Permanente del Profesorado de Ciencias y Matemática en los Países Iberoamericanos (OEI/MEC: Madrid).

HERNANDEZ, 1989. Tesis Doctoral Dra. Herminia Hernández.

POZO J. y GÓMEZ M., 1998. Aprender y enseñar ciencia (Morata, S. L.: Madrid).

REYES, DELIA, NIURIS BATISTA TEJEDA y JOSÉ MARÍA AMENEIROS MARTÍNEZ, Tecnología y Sociedad. Tomo II. 1998, pág. 89.

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SWOKOWSKY. 1989. Cálculo con Geometría Analítica. (Grupo Ed. Iberoamérica S.A de C.V. Tomo I)

VALDÉS R. y VALDÉS P., 1994. Utilización de los ordenadores en la enseñanza de las ciencias. (Enseñanza de las Ciencias, 12 (3), pp. 412-415).

 

UNIVERSIDAD DE LAS CIENCIAS INFORMÁTICAS  

Autores:

MS. C. Juana Elena Acosta (juana@uci.cu)

Lic. Raúl León Suárez (rleon@uci.cu)

Lic. Yoisell Rodríguez Núñez (yoisell@uci.cu)

Lic. Cesar Richard Nicolás (crichard@uci.cu)

Lic. José Hilario Quintana Álvarez  (jhquintana@uci.cu)

Lic. Rafael Brito González  (rbritog@uci.cu)

Lic. José A. González Alonso (tony@uci.cu)

Ciudad de la Habana

Julio 2005


Enviado por Lic. Yoisell Rodríguez Núñez y Otros Autores
Contactar mailto:yoisell@uci.cu


Código ISPN de la Publicación: EEkEAAyZuyxkEXvjRd
Publicado Thursday 21 de July de 2005