Indice
1.
INTRODUCCIÓN.
2.
PERSPECTIVA GENERAL DE LA INTEGRACIÓN.
2.1.
Propiedades de la integral.
2.2.
Método de integración por sustitución simple.
2.3.
Método de integración por partes.
2.4.
Integración trigonométrica.
2.5.
Método de sustitución trigonométrica.
2.6.
Fracciones parciales.
3.
CÁLCULO DE ÁREA DE REGIONES PLANAS MEDIANTE INTEGRALES.
3.1.
Una región entre dos curvas.
4.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS.
5.
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL.
6.
SUCESIONES.
7.
LÍMITE DE SUCESIÓN.
8.
SERIES INFINITAS.
8.1. Convergencia.
8.1.1. Convergencia absoluta.
8.2. Linealidad de las series convergentes.
9.
APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN COMPUTACIÓN MATEMÁTICA.
9.1.
Negocios.
9.2.
Volumen.
9.3.
Economía.
9.4. Ciencias sociales.
10.
MÉTODO DE LAS ARANDELAS
11.
MÉTODO DE LOS CASCARONES
12.
TEMA DE APLICACIÓN
13.
BIBLIOGRAFÍA.
1.
INTRODUCCIÓN
En
el siguiente trabajo se presenta una perspectiva acerca de lo que es el Cálculo
Integral así como diversos procedimientos involucrados para lograr resolver
problemas dentro de ésta área, además, se dan algunos aspectos sobre el uso
de esta disciplina en las ciencias de la computación y su relación con ella.
Esperamos
que este trabajo sirva de ayuda o apoyo para estudiantes que están próximos a
ingresar en una carrera de este tipo o que ya estén en una de ellas. Todos los
comentarios o criticas sobre la elaboración de este documento son bienvenidas
al correo que se presenta en la parte superior las cuales serán contestadas lo
más pronto posible.
2.
PERSPECTIVA GENERAL DE LA INTEGRACIÓN
La
integración es el procedimiento por el cual se puede determinar el área
limitada por la curva de ecuación y
= f(x)
el eje X
y las rectas x
= a
y x = b.
Para
encontrar dicha área inscribimos bajo la curva dada un número determinado de
rectángulos, la suma del área de cada rectángulo es una aproximación del área
bajo la curva, y conforme el número de rectángulos tiende a infinito nos
aproximamos más al área exacta de la región.
Se volvería muy complicado inscribir demasiados rectángulos y calcular
el área de cada uno y después sumarla, por ello surge el procedimiento de la
integral conforme al siguiente límite:
Lo
cual podemos expresar de la forma:
a
la cual llamamos integral de f de a a b , ésta representa un número y ése número
es el área de la región acotada entre la curva y las rectas mencionadas con
anterioridad.
Los
métodos de integración son procedimientos que nos permiten calcular este valor
de manera más sencilla. Cuando este valor existe para la función, se dice que
la función es integrable, de lo contrario es una función no integrable.
Teorema:
Si
f es una función continua en el intervalo cerrado [a,
b],
entonces es integrable de a
a b.
2.1.
Propiedades de la integral:
Si
f y g son funciones integrables en el intervalo [a,
b]
y k
una constante, entonces f
+
g y
kf
son integrables en el mismo intervalo, y además se cumple:
Una
integral que tiene límites de integración (a, b) se llama integral definida,
de lo contrario se nombra indefinida.
Algunas
de las integrales trigonométricas más conocidas son:
2.2.
Método de integración por sustitución simple:
Sea
f(x)
diferenciable, entonces la diferencial de f(x) = f’(x)dx. Éste método se
basa en realizar cambios de variable en el integrando, de tal forma que
transforme la integral original en otra equivalente y más simple de integrar,
ya sea por la tabla de integral anterior o por algún otro método.
Por
otra parte, sabemos que para una función f integrable en el intervalo [a, b] su
integral:
es
un número y es posible definir una función mediante una integral definida,
para esto hacemos lo siguiente:
Definimos:
de lo cual se desprende:
|
PRIMER
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:
Sea
f una función continua en el intervalo [a,
b]
y sea x
un punto variable en
(a, b),
entonces:
|
|
SEGUNDO
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:
Sea
f un función continua (y de aquí integrable) en [a, b], y sea F
cualquier antiderivada de f en [a, b]. Entonces:
|
2.3.
Método de integración por partes:
Si
la integración por sustitución simple falla o se complica, es posible utilizar
una doble sustitución conocida como integración por partes. Éste método
tiene como base la integración de la igualdad de la derivada del producto de
dos funciones:
La
integral de VdU debe ser sencilla, y algunas veces puede repetirse el método de
integración por partes varias veces hasta conseguir el resultado final.
2.4.
Integración trigonométrica:
Para
resolver integrales que involucran a funciones trigonométricas debemos hacer un
uso adecuado de otros métodos, ya sea utilizando la tabla de integrales básicas
o integración por partes y al mismo tiempo nos será muy útil conocer algunas
identidades trigonométricas que pueden sustituirse en la función original para
hacer la integración más fácil:
I)
IDENTIDADES DE RECÍPROCOS:
a.
Sen a
·
Cosec a
= 1
b.
Cos a
·
Sec a
= 1
c.
Tg a · Cotg a = 1
II)
DE COCIENTES O DIVISIÓN
a.
Tg a = Sen a / Cos a
b.
Ctg a = Cos a / Sen a
III)
DE CUADRADOS (PITAGÓRICAS)
a.
Sen2 a + Cos2 a = 1
b.
Sec2 a = 1 + Tg2 a
c.
Cosec2 a = 1 + Ctg2 a
IV)
DE ÁNGULO MEDIO
a.
Sen2 a = 1 – Cos(2a) / 2
b.
Cos2 a = 1 + Cos (2a) / 2
Con
estas identidades podemos transformas integrales trigonométricas complejas a
algunas más sencillas.
2.5.
Método de sustitución trigonométrica:
Cuando
aparecen radicales en un integrando generalmente son problemáticos y por lo común
tratamos de librarnos de ellos. Así, con una sustitución apropiada que
racionalice la expresión nos permitirá simplificar.
Consideramos
integrandos de la siguiente forma:
En
donde para cada uno de ellos se sugieren las siguientes sustituciones:
I)
x = b/a
·
Tg(a)
II)
x = b/a · Sec(a)
III)
x= b/a · Sen(a)
2.6.
Fracciones
parciales:
Éste
método de integración comprende la integración de fracciones racionales, es
decir, funciones cuyo numerador y denominador son funciones polinomiales: P(x) /
Q(x). Se estudian aquellos casos en los cuales el grado del numerador es menor
que el de el denominador. La idea es tratar de descomponer esta fracción en la
suma de fracciones más simples denominada fracciones parciales.
Nos
interesan también en nuestro estudio fracciones que al ser factorizadas, los
factores que aparecen sean lineales o cuadráticos los cuales pueden o no
repetirse.
De
ésta forma el método de integración por descomposición de fracciones
parciales lo estudiamos en dos apartados: Factores lineales y factores cuadráticos.
Procedimiento:
Para
descomponer una función racional en fracciones parciales procedemos como sigue:
1)
Si la función es impropia, esto es, si el grado de P(x) es mayor o igual
al de Q(x) se realiza primero la división para expresarla en términos de
fracciones propias.
2)
Se factoriza Q(x) en producto de factores cuadráticos irreducibles con
coeficientes reales. Factores esperados: ax + b y ax2 + bx + c
3)
Por
cada factor de la forma (ax + b)k se espera que la descomposición tenga la
forma: A1/(ax + b) + A2/(ax + b)2 + ... +
Ak/(ax + b)k.
4)
Por
cada factor de la forma (ax + bx + c)m se espera que la descomposición
tenga la forma en términos de: B1x + C1 / (ax2
+ bx + c) + B2x + C2 / (ax2 + bx + c)2
+ ... +
Bmx + Cm / (ax2 + bx + c)m.
5)
Sustituya una función racional por la suma de las fracciones parciales.
6)
Encuentra el valor de los coeficientes.
7)
Calcule las integrales.
3.
CÁLCULO DE ÁREA DE REGIONES PLANAS MEDIANTE INTEGRALES
Para
Calcular el área de una región R acotada por las gráficas y = f(x), x = a, x
= b y y
= 0 donde
R esta por debajo de y = f(x) entre
x = a y x = b su área esta dada por:
es
decir, esto es para regiones por arriba del eje X, ahora, para regiones debajo
del eje X, tenemos lo siguiente: El área es un número no negativo, si la gráfica
y = f(x) esta por debajo del eje X, entonces:
es
negativo y por tanto no puede ser un área, sin embargo, sólo es el negativo
del área de la región R, entonces el área queda de la siguiente forma:
Para
una región que contempla un área por debajo del eje X y al mismo tiempo por
arriba, tenemos:
Una
manera útil de pensar:
Cuando
se consideran integrales muy complicadas, hay una manera muy útil para pensar
siguiendo éstos pasos:
1)
Bosqueje la gráfica.
2)
Córtela en pedazos delgados (Tiras) y marque una pieza representativa.
3)
Aproxime el área de esa pieza como si fuera un rectángulo.
4)
Sume las aproximaciones a las áreas de las piezas.
5)
Tome el límite cuando el ancho de las piezas se aproxima a cero,
obteniendo así una integral definida.
3.1.
Una región entre dos curvas:
Primero
consideremos lo siguiente:
q
Curvas:
y = f(x) y y = g(x).
q
g(x)
< f(x) en a <
x <
b.
En
la figura notamos que f(x) – g(x) da
la altura perfecta de un rectángulo representativo, aunque g(x) esta debajo de
X:
4.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS
Podemos
usar la integral definida entre otras cosas para el cálculo de volúmenes de sólidos
al seccionar éstos y siempre y cuando el volumen de cada pedazo sea fácil de
obtener.
Ya
que una figura de alguno de estos tipos:
Se
calcula como: V = Área de la base · altura, entonces el volumen de un
fragmento de cilindro o de cualquier figura regular se obtiene como:
DAi
· Dxi
Por
lo tanto, cualquier figura al ser seccionada se determina mediante:
Tomando
el límite se tiene que:
5.
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL:
Una
de las aplicaciones de la integral se refiere al crecimiento y decaimiento
exponencial. El crecimiento o disminución de algún dato se puede expresar de
forma matemática con las funciones ln(x) y ex y usar la integración y derivación
para encontrar una fórmula que nos permita hacer el cálculo de alguna
cantidad que crece en un tiempo determinado, encontrar ese tiempo o bien , la
contante de crecimiento o decaimiento a la cual está sujeta cierta cantidad
inicial. Sabemos que si tenemos una función y = f(t) puede haber un
desplazamiento Dy respecto a un cambio de tiempo Dt, por tanto:
Dy
= kyDt
Si
despejamos obtenemos Dy
/
Dt
= ky y en su forma de límite, esto representa la ecuación diferencial:
dy
/ dt = ky,
Aquí,
k representa una constante de crecimiento o decaimiento:
Si
k > 0, entonces se denomina crecimiento
exponencial.
Si
k < 0, entonces se denomina decaimiento
exponencial.
Para
resolver la última ecuación dada, despejamos t
y “y” tenemos: dy / y = kdt, integrando de ambos lados tenemos:
6.
SUCESIONES
En
lenguaje llano podemos decir que una sucesión es un arreglo ordenado de números
reales, uno para cada natural existente y
formalmente hablando es una función definida de la siguiente forma:
f:
IN à
IR
Las
sucesiones las denotamos de la siguiente forma: f(n) = an, o bien de
la forma: {an} neIN.
Siendo
funciones, entonces podemos hablar de las siguientes operaciones:
q
{an} +
{bn} = {an +
bn};
q
{an} · {bn} = {an · bn}:
q
{an} / {bn} = {an / bn} con bn !=0.
Las
formas para representar sucesiones son: explícita y recursiva. Por ejemplo, una
forma explícita es: {2/n}neIN è
an=2/n. Una forma recursiva es: a1 = 3, a2 = 5
... an = 2an-1+1.
q
Se dice que una sucesión es creciente
si an+1 > an " neIN.
q
Se dice que una sucesión es decreciente
si an+1 < an " neIN.
Cuando
hay la posibilidad de igualdad se agrega el prefijo “monótono”.
Se
dice que una sucesión está acotada si: $
keIR
| an < k "
neIN.
è
k es una cota superior, o bien, si: $
keIR
| an > k "
neIN
è
k es cota inferior.
7.
LÍMITE DE SUCESIÓN
Definición:
La
sucesión {an} converge a L y escribimos:
si
para cada número positivo e hay un número positivo correspondiente N talque:
n
>
N è
| an – L | < e
Si
no hay un número finito L al que converja una sucesión, se dice que esta
diverge o que es divergente. Los límites de sucesión válidos son:
Sean
{an} y {bn} sucesiones convergentes y k una constante,
entonces:
Teorema:
Si
{an} es no decreciente y acotada superiormente, entonces an
converge. Un enunciado análogo es: Si {an} es no creciente y acotada
inferiormente, entonces an converge.
Subsucesión:
Es
una sucesión que se forma con algunos de los términos de una sucesión dada,
por ejemplo: Sea una sucesión {n}, entonces con ella podemos formar las
subsucesiones {2n} o bien {2n-1}, etcétera.
8.
SERIES INFINITAS
Sea
{an} neIN y {Sn} neIN talque:
