Indice
1.
INTRODUCCIÓN.
2.
PERSPECTIVA GENERAL DE LA INTEGRACIÓN.
2.1.
Propiedades de la integral.
2.2.
Método de integración por sustitución simple.
2.3.
Método de integración por partes.
2.4.
Integración trigonométrica.
2.5.
Método de sustitución trigonométrica.
2.6.
Fracciones parciales.
3.
CÁLCULO DE ÁREA DE REGIONES PLANAS MEDIANTE INTEGRALES.
3.1.
Una región entre dos curvas.
4.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS.
5.
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL.
6.
SUCESIONES.
7.
LÍMITE DE SUCESIÓN.
8.
SERIES INFINITAS.
8.1. Convergencia.
8.1.1. Convergencia absoluta.
8.2. Linealidad de las series convergentes.
9.
APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN COMPUTACIÓN MATEMÁTICA.
9.1.
Negocios.
9.2.
Volumen.
9.3.
Economía.
9.4. Ciencias sociales.
10.
MÉTODO DE LAS ARANDELAS
11.
MÉTODO DE LOS CASCARONES
12.
TEMA DE APLICACIÓN
13.
BIBLIOGRAFÍA.
1.
INTRODUCCIÓN
En
el siguiente trabajo se presenta una perspectiva acerca de lo que es el Cálculo
Integral así como diversos procedimientos involucrados para lograr resolver
problemas dentro de ésta área, además, se dan algunos aspectos sobre el uso
de esta disciplina en las ciencias de la computación y su relación con ella.
Esperamos
que este trabajo sirva de ayuda o apoyo para estudiantes que están próximos a
ingresar en una carrera de este tipo o que ya estén en una de ellas. Todos los
comentarios o criticas sobre la elaboración de este documento son bienvenidas
al correo que se presenta en la parte superior las cuales serán contestadas lo
más pronto posible.
2.
PERSPECTIVA GENERAL DE LA INTEGRACIÓN
La
integración es el procedimiento por el cual se puede determinar el área
limitada por la curva de ecuación y
= f(x)
el eje X
y las rectas x
= a
y x = b.
Para
encontrar dicha área inscribimos bajo la curva dada un número determinado de
rectángulos, la suma del área de cada rectángulo es una aproximación del área
bajo la curva, y conforme el número de rectángulos tiende a infinito nos
aproximamos más al área exacta de la región.
Se volvería muy complicado inscribir demasiados rectángulos y calcular
el área de cada uno y después sumarla, por ello surge el procedimiento de la
integral conforme al siguiente límite:
Lo
cual podemos expresar de la forma:
a
la cual llamamos integral de f de a a b , ésta representa un número y ése número
es el área de la región acotada entre la curva y las rectas mencionadas con
anterioridad.
Los
métodos de integración son procedimientos que nos permiten calcular este valor
de manera más sencilla. Cuando este valor existe para la función, se dice que
la función es integrable, de lo contrario es una función no integrable.
Teorema:
Si
f es una función continua en el intervalo cerrado [a,
b],
entonces es integrable de a
a b.
2.1.
Propiedades de la integral:
Si
f y g son funciones integrables en el intervalo [a,
b]
y k
una constante, entonces f
+
g y
kf
son integrables en el mismo intervalo, y además se cumple:
Una
integral que tiene límites de integración (a, b) se llama integral definida,
de lo contrario se nombra indefinida.
Algunas
de las integrales trigonométricas más conocidas son:
2.2.
Método de integración por sustitución simple:
Sea
f(x)
diferenciable, entonces la diferencial de f(x) = f’(x)dx. Éste método se
basa en realizar cambios de variable en el integrando, de tal forma que
transforme la integral original en otra equivalente y más simple de integrar,
ya sea por la tabla de integral anterior o por algún otro método.
Por
otra parte, sabemos que para una función f integrable en el intervalo [a, b] su
integral:
es
un número y es posible definir una función mediante una integral definida,
para esto hacemos lo siguiente:
Definimos:
de lo cual se desprende:
|
PRIMER
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:
Sea
f una función continua en el intervalo [a,
b]
y sea x
un punto variable en
(a, b),
entonces:
|
|
SEGUNDO
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:
Sea
f un función continua (y de aquí integrable) en [a, b], y sea F
cualquier antiderivada de f en [a, b]. Entonces:
|
2.3.
Método de integración por partes:
Si
la integración por sustitución simple falla o se complica, es posible utilizar
una doble sustitución conocida como integración por partes. Éste método
tiene como base la integración de la igualdad de la derivada del producto de
dos funciones:
La
integral de VdU debe ser sencilla, y algunas veces puede repetirse el método de
integración por partes varias veces hasta conseguir el resultado final.
2.4.
Integración trigonométrica:
Para
resolver integrales que involucran a funciones trigonométricas debemos hacer un
uso adecuado de otros métodos, ya sea utilizando la tabla de integrales básicas
o integración por partes y al mismo tiempo nos será muy útil conocer algunas
identidades trigonométricas que pueden sustituirse en la función original para
hacer la integración más fácil:
I)
IDENTIDADES DE RECÍPROCOS:
a.
Sen a
·
Cosec a
= 1
b.
Cos a
·
Sec a
= 1
c.
Tg a · Cotg a = 1
II)
DE COCIENTES O DIVISIÓN
a.
Tg a = Sen a / Cos a
b.
Ctg a = Cos a / Sen a
III)
DE CUADRADOS (PITAGÓRICAS)
a.
Sen2 a + Cos2 a = 1
b.
Sec2 a = 1 + Tg2 a
c.
Cosec2 a = 1 + Ctg2 a
IV)
DE ÁNGULO MEDIO
a.
Sen2 a = 1 – Cos(2a) / 2
b.
Cos2 a = 1 + Cos (2a) / 2
Con
estas identidades podemos transformas integrales trigonométricas complejas a
algunas más sencillas.
2.5.
Método de sustitución trigonométrica:
Cuando
aparecen radicales en un integrando generalmente son problemáticos y por lo común
tratamos de librarnos de ellos. Así, con una sustitución apropiada que
racionalice la expresión nos permitirá simplificar.
Consideramos
integrandos de la siguiente forma:
En
donde para cada uno de ellos se sugieren las siguientes sustituciones:
I)
x = b/a
·
Tg(a)
II)
x = b/a · Sec(a)
III)
x= b/a · Sen(a)
2.6.
Fracciones
parciales:
Éste
método de integración comprende la integración de fracciones racionales, es
decir, funciones cuyo numerador y denominador son funciones polinomiales: P(x) /
Q(x). Se estudian aquellos casos en los cuales el grado del numerador es menor
que el de el denominador. La idea es tratar de descomponer esta fracción en la
suma de fracciones más simples denominada fracciones parciales.
Nos
interesan también en nuestro estudio fracciones que al ser factorizadas, los
factores que aparecen sean lineales o cuadráticos los cuales pueden o no
repetirse.
De
ésta forma el método de integración por descomposición de fracciones
parciales lo estudiamos en dos apartados: Factores lineales y factores cuadráticos.
Procedimiento:
Para
descomponer una función racional en fracciones parciales procedemos como sigue:
1)
Si la función es impropia, esto es, si el grado de P(x) es mayor o igual
al de Q(x) se realiza primero la división para expresarla en términos de
fracciones propias.
2)
Se factoriza Q(x) en producto de factores cuadráticos irreducibles con
coeficientes reales. Factores esperados: ax + b y ax2 + bx + c
3)
Por
cada factor de la forma (ax + b)k se espera que la descomposición tenga la
forma: A1/(ax + b) + A2/(ax + b)2 + ... +
Ak/(ax + b)k.
4)
Por
cada factor de la forma (ax + bx + c)m se espera que la descomposición
tenga la forma en términos de: B1x + C1 / (ax2
+ bx + c) + B2x + C2 / (ax2 + bx + c)2
+ ... +
Bmx + Cm / (ax2 + bx + c)m.
5)
Sustituya una función racional por la suma de las fracciones parciales.
6)
Encuentra el valor de los coeficientes.
7)
Calcule las integrales.
3.
CÁLCULO DE ÁREA DE REGIONES PLANAS MEDIANTE INTEGRALES
Para
Calcular el área de una región R acotada por las gráficas y = f(x), x = a, x
= b y y
= 0 donde
R esta por debajo de y = f(x) entre
x = a y x = b su área esta dada por:
es
decir, esto es para regiones por arriba del eje X, ahora, para regiones debajo
del eje X, tenemos lo siguiente: El área es un número no negativo, si la gráfica
y = f(x) esta por debajo del eje X, entonces:
es
negativo y por tanto no puede ser un área, sin embargo, sólo es el negativo
del área de la región R, entonces el área queda de la siguiente forma:
Para
una región que contempla un área por debajo del eje X y al mismo tiempo por
arriba, tenemos:
Una
manera útil de pensar:
Cuando
se consideran integrales muy complicadas, hay una manera muy útil para pensar
siguiendo éstos pasos:
1)
Bosqueje la gráfica.
2)
Córtela en pedazos delgados (Tiras) y marque una pieza representativa.
3)
Aproxime el área de esa pieza como si fuera un rectángulo.
4)
Sume las aproximaciones a las áreas de las piezas.
5)
Tome el límite cuando el ancho de las piezas se aproxima a cero,
obteniendo así una integral definida.
3.1.
Una región entre dos curvas:
Primero
consideremos lo siguiente:
q
Curvas:
y = f(x) y y = g(x).
q
g(x)
< f(x) en a <
x <
b.
En
la figura notamos que f(x) – g(x) da
la altura perfecta de un rectángulo representativo, aunque g(x) esta debajo de
X:
4.
VOLÚMENES DE SÓLIDOS
Podemos
usar la integral definida entre otras cosas para el cálculo de volúmenes de sólidos
al seccionar éstos y siempre y cuando el volumen de cada pedazo sea fácil de
obtener.
Ya
que una figura de alguno de estos tipos:
Se
calcula como: V = Área de la base · altura, entonces el volumen de un
fragmento de cilindro o de cualquier figura regular se obtiene como:
DAi
· Dxi
Por
lo tanto, cualquier figura al ser seccionada se determina mediante:
Tomando
el límite se tiene que:
5.
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL:
Una
de las aplicaciones de la integral se refiere al crecimiento y decaimiento
exponencial. El crecimiento o disminución de algún dato se puede expresar de
forma matemática con las funciones ln(x) y ex y usar la integración y derivación
para encontrar una fórmula que nos permita hacer el cálculo de alguna
cantidad que crece en un tiempo determinado, encontrar ese tiempo o bien , la
contante de crecimiento o decaimiento a la cual está sujeta cierta cantidad
inicial. Sabemos que si tenemos una función y = f(t) puede haber un
desplazamiento Dy respecto a un cambio de tiempo Dt, por tanto:
Dy
= kyDt
Si
despejamos obtenemos Dy
/
Dt
= ky y en su forma de límite, esto representa la ecuación diferencial:
dy
/ dt = ky,
Aquí,
k representa una constante de crecimiento o decaimiento:
Si
k > 0, entonces se denomina crecimiento
exponencial.
Si
k < 0, entonces se denomina decaimiento
exponencial.
Para
resolver la última ecuación dada, despejamos t
y “y” tenemos: dy / y = kdt, integrando de ambos lados tenemos:
6.
SUCESIONES
En
lenguaje llano podemos decir que una sucesión es un arreglo ordenado de números
reales, uno para cada natural existente y
formalmente hablando es una función definida de la siguiente forma:
f:
IN à
IR
Las
sucesiones las denotamos de la siguiente forma: f(n) = an, o bien de
la forma: {an} neIN.
Siendo
funciones, entonces podemos hablar de las siguientes operaciones:
q
{an} +
{bn} = {an +
bn};
q
{an} · {bn} = {an · bn}:
q
{an} / {bn} = {an / bn} con bn !=0.
Las
formas para representar sucesiones son: explícita y recursiva. Por ejemplo, una
forma explícita es: {2/n}neIN è
an=2/n. Una forma recursiva es: a1 = 3, a2 = 5
... an = 2an-1+1.
q
Se dice que una sucesión es creciente
si an+1 > an " neIN.
q
Se dice que una sucesión es decreciente
si an+1 < an " neIN.
Cuando
hay la posibilidad de igualdad se agrega el prefijo “monótono”.
Se
dice que una sucesión está acotada si: $
keIR
| an < k "
neIN.
è
k es una cota superior, o bien, si: $
keIR
| an > k "
neIN
è
k es cota inferior.
7.
LÍMITE DE SUCESIÓN
Definición:
La
sucesión {an} converge a L y escribimos:
si
para cada número positivo e hay un número positivo correspondiente N talque:
n
>
N è
| an – L | < e
Si
no hay un número finito L al que converja una sucesión, se dice que esta
diverge o que es divergente. Los límites de sucesión válidos son:
Sean
{an} y {bn} sucesiones convergentes y k una constante,
entonces:
Teorema:
Si
{an} es no decreciente y acotada superiormente, entonces an
converge. Un enunciado análogo es: Si {an} es no creciente y acotada
inferiormente, entonces an converge.
Subsucesión:
Es
una sucesión que se forma con algunos de los términos de una sucesión dada,
por ejemplo: Sea una sucesión {n}, entonces con ella podemos formar las
subsucesiones {2n} o bien {2n-1}, etcétera.
8.
SERIES INFINITAS
Sea
{an} neIN y {Sn} neIN talque:
S1
= a1;
S2
= a1 + a2;
S3
= a1 + a2 + a3;
Sn
= a1 + a2 + a3 + … + an
Entonces
a {Sn} se le llama serie infinita y la denotamos por:
Además,
se dice que {an} es sumable si la sucesión {Sn} converge
y el límite de {Sn} es la sumatoria.
8.1.
Convergencia:
Convergencia
de:
Para
determinare la convergencia de una serie infinita utilizamos los siguientes
criterios:
1)
Criterio
de Cauchy:
La sucesión {an} es
sumable si y sólo si:
2)
Criterio
del resto:
3)
Criterio
de acotación:
Una serie no negativa es no convergente si y sólo si el conjunto de sumas
parciales es acotado.
4)
Criterio
de comparación:
Supóngase que 0 <
an <
bn " neIN, entonces:
5)
Prueba
o criterio del cociente: Supóngase que an " neIN y que
6)
Criterio
de la Integral: Supongamos
que f es positiva y decreciente en [1,
)
y que f(n) = an, entonces:
8.1.1.
Convergencia Absoluta:
La
serie:
se
dice absolutamente convergente si la serie:
Teorema:
Toda
serie absolutamente convergente es
convergente. Además, una serie es absolutamente convergente si y solo si, la
serie formada con sus términos negativos y la serie formada con sus términos
positivos son ambas convergentes.
8.2.
Linealidad de las series convergentes:
9.
APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN COMPUTACIÓN MATEMÁTICA
Sabemos
ahora que el cálculo integral tiene diversas aplicaciones no solo en el campo
de las matemáticas, sino además en otras ciencias que no precisamente son
ciencias exactas.
Entre
las aplicaciones más conocidas tenemos la obtención de áreas delimitadas por
curvas de cualquier forma, así mismo la obtención del volumen de sólidos de
revolución.
El
trabajo de los computólogos en el área de las matemáticas se ha extendido
hacia casi cualquier área de conocimiento,
actualmente la mayoría de las micro, pequeñas y medianas empresas basan todos sus movimientos con la ayuda de computadoras, y
ahí se centra la actividad principal de los Ingenieros y Licenciados en
Ciencias de la Computación.
Éstas
actividades de las cuales hablamos que debe desarrollar un computólogo son
entre otras las que se refieren a los siguientes puntos:
1)
Generación de Software.
2)
Creación de sistemas que coadyuven al mejoramiento de la comunicación
entre empresas e instituciones.
3)
Comunicación y transmisión de información.
4)
Generación de Hardware que haga cada vez más eficiente
5)
Investigación y desarrollo de los mecanismos computacionales que existen
actualmente .
Estamos
de acuerdo en que el mundo actual sería un caos sin la ayuda de las
computadoras, artilugios que hacen que la información requerida por una empresa
llegue en cuestión de segundos a su destinatario, pero todo esto tampoco se
podría llevar a cabo sin la ayuda de lo que son precisamente las Ciencias de la
Computación, entre ellas, el Cálculo, y en esta ocasión nos referimos
especialmente al Cálculo Integral.
Una
de las aplicaciones menos conocidas del entorno de la Computación es la creación
de software para la generación de otros aparatos que facilitan la tarea de
otras personas no dedicadas al área de las matemáticas; por ejemplo, que haría
un físico-matemático si no contara con un software que tenga como tarea
primordial el cálculo de funciones matemáticas, o la graficación de éstas
mismas, la labor de este tipo de científicos se volvería muy tediosa, es por
ello que en la actualidad se genera software como el de Mathemática, Derive,
Maple y Theorist, los cuales pueden crear hermosas figuras de objetos matemáticos,
y además realizar muchos tipos de cálculos incluyendo integración simbólica.
Entre
otras aplicaciones del Cálculo se encuentras las presentadas a continuación,
que se refieren no solamente a la Computación matemática:
9.1.
NEGOCIOS.
Costos de transporte:
Una
compañía de autobuses está dispuesta a alquilar sus vehículos solo ha grupos
de 35 o más personas. Si un grupo consta de 35 personas, cada una paga US$60.
En grupos mayores, la tarifa de todas las personas se reduce en 50 centavos por
cada persona adicional. Exprese los ingresos de la compañía de autobuses como
una función del tamaño del grupo, elabore la gráfica y estime que tamaño del
grupo maximizará los ingresos.
Costos de construcción:
Una
caja cerrada, de base cuadrada, tiene un volumen de 250 m³. El material de las
partes superior e inferior de la caja cuesta US $2 por m² y el de los lados, US
$1 por m². Exprese el volumen de la caja como una función de la longitud de su
base.
9.2. VOLUMEN:
A
partir de una pieza cuadrada de cartón de 18 por 18 pulg ², quitando un pequeño
cuadrado de cada esquina y plegando las alas para formar los lados, construirá
una caja abierta. Exprese el volumen de la caja resultante como una función de
longitud x de un lado de los lados eliminados. Elabore la gráfica y calcule el
valor de x para el cual el volumen de la caja resultante es el máximo.
9.3.
ECONOMÍA:
Distribución de fondos:
Un
fabricante planea vender un nuevo producto al precio de US $150 por unidad y
estima que si gastan x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en
promoción, los consumidores compraran aproximadamente (320y / y + 2)+(160x / x
+ 4) unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto son
US $50 por unidad, ¿cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y
cuanto en promoción para generar la mayor utilidad posible en la venta de este
producto? [nota: Utilidad =(N º de unidades) (precio por unidad - costo por
unidad) - cantidad total gastada en desarrollo y promoción]
Ventas al por menor:
Una
lechería produce leche entera y leche descremada en cantidades x e y galones,
respectivamente. Suponga que el precio de la leche entera es p(x)=000-x, y el de
la leche descremada es q(y)=100-y. Suponga que C(x, y) = x² + xy + y² es la
función de costos conjuntos de los productos. ¿Cuales deberían ser x e y para maximizar las utilidades?
9.4.
CIENCIAS SOCIALES:
Agotamiento de reservas:
Cierto
gas raro usado en procesos industriales tenía reservas conocidas de 3 exp 11 m³
en 1990. En 1991, se consumía 1.7 exp 9 m³ del gas con un incremento anual del
7.3% ¿cuando se agotarán las reservas conocidas del gas?
Valor presente:
Una
inversión garantiza pagos anuales de US $1.000 a perpetuidad; empezando de
inmediato con los pagos. Halle el valor presente de esta inversión si la taza
de interés anual predominante permanece fija al 12% capitalizado continuamente.
(sugerencias: El valor presente de la inversión es la suma de los valores
presentes de los pagos individuales.)
Control de calidad:
Tres
inspectores se turnan para revisar componentes electrónicos a medida que salen
de una línea de ensamblaje. Si el 10% de todos los componentes producidos en la
línea de ensamblaje son defectuosos, halle la probabilidad de que el inspector
que prueba el primer componente sea el mismo que encuentra el primer componente
defectuoso.
10.
MÉTODO DE LAS ARANDELAS
Cuando
tenemos dos curvas, y la región que se forma entre ellas se hace girar,
formando un sólido de revolución, es posible que se genere un agujero en el
centro, éstos discos se conocen con el nombre de arandelas, en este caso
para calcular el volumen de dicho sólido se calcula el radio del círculo que
se engendra en el centro y además el del disco total, esta será la base de
nuestro cilindro, por lo cual para poder calcular su área, necesitaremos el área
de la base, que se obtiene restándole al radio mayor el radio menor, el
resultado lo multiplicamos por ¶ y después por la altura, observe la figura
que viene a continuación:
Figura 1
EJEMPLO
1:
Encontrar
el volumen del sólido generado al hacer girar la región acotada por las parábolas
y=x2 y y2=8x en torno al eje X.
SOLUCIÓN:
Para Dar solución al problema presente veamos la siguiente gráfica, en ella
observamos que r1=x2 y r2=
y que los interceptos entre las
curvas son el origen (0,0) y (2,4), por tanto el volumen del sólidos que
buscamos se encuentra entre la región [0,2], sustituyendo en la fórmula dada
en la Figura 1 tenemos lo siguiente:
Figura 2
EJEMPLO
2:
La
región semicircular acotada por la curva x = (4 – y2 )1/2 y
el eje y se hace girar alrededor de la recta x = -1, formular la integral que
representa su volumen.
SOLUCIÓN:
El
radio exterior de la arandela es 1 + (4 – y2)1/2 y el
radio interior es 1, haciendo las sustituciones requeridas tenemos lo siguiente:
Figura 3
11.
MÉTODO DE LOS CASCARONES
Considere
una región del tipo que se muestra en la Figura 4. Si la rebanamos de manera
vertical y la hacemos girar en torno al eje y, generará un sólido de revolución
, y cada rebanada generará una pieza que es aproximadamente un cascarón cilíndrico.
Para obtener el volumen de este sólido, calculamos el volumen DV de un cascarón representativo, sumamos y tomamos el límite
cuando el grosor de los cascarones tiende a cero y de ahí obtenemos una
integral:
|
DV
= 2p x f(x) Dx
V
= 2p
x
f(x) dx
|
Figura
4.
EJEMPLO
1: La
región acotada por y = 1 / x1/2 , el eje x, x = 1 y x = 4se hace
girar entorno al eje y. Encontrar el volumen del sólido resultante.
Solución:
Con base en la Figura 4 vemos que el volumen del cascarón que se genera es:
DV
= 2p x f(x) Dx
Figura
5.
13.
BIBLIOGRAFÍA
1)
Purcell Edwin J., Varberg Dale, Rigdon Steven E., (2001) Cálculo,
Prentice Hall.
2)
Microsoft Encarta Edición 2001.
(2002)
Matemáticas VI, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla.
Autor:
Luis Antonio Fernández Aldana.
Estudiante del Sexto. Cuatrimestre de Ingeniería en Ciencias de la Computación.
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla.
Facultad de Ciencias de la Computación.
27 / Junio / 2005.
Comentarios a: goodlafa@yahoo.com.mx
