Resumen

El presente trabajo tiene como punto de partida, la contradicción que se da entre la formación del concepto función lineal y sus posibles aplicaciones durante el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la Educación General.

El trabajo trata, el aprendizaje por medio de problemas donde se hace uso de la modelación matemática en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la función lineal a pedazos.. Se pudo constatar, la existencia de insuficiencias en la formación del concepto función lineal a pedazos,. El análisis de las posibles causas del problema, condujo a la elaboración de un procedimiento didáctico para usar la modelación matemática en el estudio de la función lineal a pedazos, el cual, puede ser utilizado por los docentes en el empeño de mejorar los resultados de su labor durante el aprendizaje de los estudiantes, el procedimiento consta de seis acciones, que a la vez, están integradas por operaciones que contribuyen a guiar la actividad a realizar, por el docente, para dirigir el proceso de formación del concepto función lineal a pedazos.

Introducción

El proceso de formación de conceptos matemáticos en los escolares, ha constituido a lo largo de la historia un proceso complejo, lo que ha estado en plena correspondencia con la naturaleza de los propios conceptos. Por ejemplo, uno de los conceptos de mayor trascendencia en la Matemática es el de función, cuya definición se elabora con la participación del alumno en el noveno grado de la Secundaria Básica cubana, sin embargo, por su naturaleza abstracta, la enseñanza de este concepto ha llamado la atención de muchos investigadores en el mundo.

El desarrollo del proceso de formación de conceptos ha enfrentado una etapa de renovación de enfoques, muy vinculados a las exigencias de las transformaciones realizadas en la enseñanza media, que han estado dirigidas en lo esencial al cambio en los métodos y estilos de trabajo. Uno de estos cambios es: “Plantear el estudio de los nuevos contenidos matemáticos en función de resolver nuevas clases de problemas y no considerar la resolución de problemas exclusivamente como un medio para fijar contenidos “. (MINED, 2006, p. 10).

Uno de los fines que persigue estas nuevas ideas es que los alumnos puedan aplicar los conocimientos adquiridos a situaciones de la vida real y mostrar la utilidad y el carácter instrumental de los conocimientos matemáticos.

Para lograr lo anteriormente planteado, entre otras cosas, es necesario que se incluyan en los contenidos de la matemática escolar problemas relevantes, que contribuyan a la educación ideo política, jurídica, laboral y económica, para la salud y la sexualidad, estética y ambiental de los alumnos, preferentemente vinculados a su entorno natural y social, en una dialéctica entre las formas de trabajo y pensamiento disciplinar e interdisciplinar, problémico y no problémico. (MINED, 2006).

En Cuba, la preparación para el estudio del concepto de función comienza desde el preescolar, es decir es aquí donde comienza la primera fase para la elaboración del mismo. En este grado el niño se familiariza con rudimentos de la teoría de conjuntos. Comienza a agrupar objetos que tienen una característica en común, ya sea el color, la forma, etc. Establece relaciones sencillas entre elementos de un conjunto, relaciones de pertenencia de elementos a conjuntos y aprende a reconocer leyes sencillas para la formación de conjuntos.

A medida que avanza en los primeros grados, se familiariza más con la teoría de conjuntos y las relaciones entre ellos.
Cuando conocen los números naturales comienzan a asignarle números a objetos, se familiarizan con el valor cardinal y ordinal, y aprenden a asociarlos con conjuntos. Más tarde aprenden las operaciones básicas de cálculo, trabajan con ecuaciones y profundizan en el trabajo con las correspondencias.
Esta fase continúa en la Secundaria Básica hasta que se comienza a tratar el concepto función de forma explícita dentro de la clase, en el noveno grado.

Es decir, que la primera fase del proceso de elaboración del concepto función comienza mucho antes de su tratamiento en el noveno grado, caracterizadas por consideraciones y ejercicios preparatorios, pues se ha trabajado conscientemente de forma implícita durante toda la enseñanza primaria, hasta la enseñanza media. Por ello, se considera que la primera fase de la elaboración de este concepto cumple con las exigencias necesarias que ella requiere en el proceso.

Es precisamente en la enseñanza media donde comienza la segunda fase, la formación del concepto. Esta fase del proceso va dirigida a la motivación y la orientación hacia el objetivo, y que pasa por la separación de las características comunes y no comunes hasta llegar a la definición. Se continúa luego con la tercera fase de la formación del concepto que es la fijación. A esta etapa corresponden las profundizaciones, sistematizaciones y aplicaciones.

En los programas actuales de la asignatura Matemática para el nivel medio, las funciones lineales se siguen estudiando en Secundaria Básica, de manera que su formación se realiza en el noveno grado. Los profesores disponen para trabajar de los mismos textos del plan anterior, de nuevas orientaciones metodológicas y de un conjunto de video clases, grabadas bajo la dirección del Ministerio de Educación y consideradas como el modelo a seguir por los docentes. En el preuniversitario se retoman estas funciones, teniendo en cuenta para su estudio las mismas concepciones de la Secundaria Básica, siendo este el momento que la autora propone para la formación del concepto función lineal a pedazos.

“La idea metodológica fundamental que acompaña las concepciones de los nuevos programas de Matemática para la Secundaria Básica, la cual tiene su continuidad en el preuniversitario, consiste en “la formulación y resolución de problemas vinculados con la vida relacionados con el desarrollo político, económico y social del país y del mundo, así como con fenómenos y procesos científicos y ambientales a partir de la recopilación y análisis de datos estadísticos” (MINED, 2001, p.1).
Muchos fenómenos de la vida, ya sean de carácter natural o social, se pueden representar a través de funciones lineales a pedazos. Su representación gráfica nos ayuda a interpretar y hacer estudios de tales fenómenos, y arribar a conclusiones sobre su comportamiento.

En el programa de Matemática 10. Grado se plantea entre los objetivos generales de la asignatura:

Representar situaciones de la vida práctica, la ciencia o la técnica mediante modelos analíticos y gráficos, aplicando para ello los conceptos, relaciones y procedimientos relativos a las funciones lineales (MINED, 2006, P.10).
Mederos (2000, p.2) considera que un concepto se ha formado cuando, al menos, se ha determinado un conjunto de rasgos esenciales que caracterizan en ese sentido a los objetos analizados y a otros posibles, y se agrupan en otra clase los modelos de los objetos analizados, así como los modelos de otros posibles objetos.
En conexión con los procesos de comparación, de análisis y abstracción; en la formación de los conceptos, actúa un proceso de síntesis que contribuye a la constitución de una clase de rasgos esenciales que sirve de criterio para modelar los objetos particulares que se comparan y analizan, en una clase de objetos abstractos; y para determinar si nuevos objetos pueden modelarse atendiendo a esa clase de rasgos esenciales en la referida clase de objeto abstractos (Mederos, 2000, p. 2). A esta clase de rasgos esenciales, muchos autores la llaman contenido del concepto.

El proceso que consiste en agrupar los objetos particulares mediante sus modelos abstractos en una clase particular, que se caracteriza por satisfacer los rasgos esenciales sintetizados en una clase de rasgos, es lo que se denomina proceso de generalización (Mederos, 2000, p.2).

La clase de rasgos esenciales actúa con cualidad de sistema al no poderse considerar los elementos que la componen desconectados entre sí, sino relacionados con una conjunción. De manera que los objetos de la clase inicial los satisfacen simultáneamente y para que nuevos objetos pertenezcan a la generalización de la clase inicial (extensión del concepto), deben poseer cada uno los rasgos esenciales.

Se considera la modelación como un medio para la formación de conceptos matemáticos, utilizando la representación analítica en la forma y = m x + n, donde m y n son símbolos para parámetros, que en cada caso particular tomarán valores fijos, y los signos x, y, representan, respectivamente, las variables independiente y dependiente, definidas sobre un conjunto de números reales.

El procedimiento didáctico que se presenta para la formación del concepto función lineal a pedazos lo conforman seis acciones:

• El profesor asigna situaciones- problemas.
• El alumno resuelve los problemas.
• Reconocimiento o determinación de propiedades de los objetos.
• Nombrar el concepto.
• El profesor asigna tareas.
• El alumno resuelve las tareas.

Cada una de los acciones del procedimiento didáctico está fundamentado a continuación.

Acción número 1

El profesor asigna a los alumnos varios problemas cuya solución es un elemento de la extensión del concepto que se quiere formar (situaciones-problemas), los cuales debe seleccionar o elaborar cuidadosamente.

La representación seleccionada para los objetos de la clase inicial en el caso de la formación del concepto de función lineal a pedazos, lleva a que la palabra “fórmula” se utilice como medio; de manera que en cada caso los alumnos deben encontrar una fórmula.

La elección de una “buena” situación es importante, pero el rol del profesor, y sus interacciones con los alumnos, parecen esenciales, no sólo con respecto a la evolución de la situación (esto puede ser, en alguna medida, dominado por la elección de una situación que no sea muy sensible a pequeñas digresiones), sino también con respecto a las relaciones de los alumnos con el conocimiento a fijar. Desde este punto de vista, la buena administración de las interacciones con y entre los alumnos es importante, y finalmente afecta la cuestión de la reproducibilidad de las situaciones didácticas (Douady, 1998, p.15).

Una buena forma de orientarse en la búsqueda de pautas para la formulación que difieran en el dominio, la imagen o la ecuación de un problema cuya solución sea un elemento de la extensión de un concepto que se quiere formar, consiste en el que utilizaremos en el trabajo para formar el concepto función lineal a pedazos, la modelación como proceso.

Acción número 2

El proceso de resolución de las situaciones-problemas está sujeto a las fases que han identificado varios investigadores (Polya, 1982, p5):

• La comprensión del problema.
• La elaboración de un plan.
• La ejecución del plan.
• Análisis de las soluciones y de la vía.

La comprensión del problema está dirigida a identificar lo que se da y lo que se pide.

La elaboración de un plan de solución.
La búsqueda de un modelo matemático funcional para resolver una situación-problema elaborada con ese fin, pasa por una etapa intermedia en que se debe encontrar un modelo de la relación esencial entre las magnitudes que intervienen en ésta, pero en el dominio al que la situación pertenece. En el plan de solución debe estar contemplada, en primer lugar, la acción de la obtención de ese modelo.
Después de la acción anterior, el proceso de modelación conduce a la elaboración de tres modelos: dos para las magnitudes variables que intervienen en la situación y uno para la relación esencial entre estas magnitudes. Estos tres modelos, de conjunto, constituyen un modelo matemático de la situación.
Por tanto el plan de solución debe incluir, como segunda acción importante, la elaboración de estos tres modelos.

La ejecución del plan.
En esta fase se incluye la realización de un plan de solución, el alumno debe llegar a encontrar la fórmula mediante inducción analizando casos particulares y otros aplicando la deducción.

En esta fase se sintetizan tres acciones muy importantes:

• Se modelan las magnitudes mediante dos variables.
• Se modelan los dominios respectivos de estas variables.
• Se modela la fórmula entre las magnitudes.

El modelo de cada magnitud está compuesto por una variable y un conjunto numérico que constituye el dominio de la variable, mientras que el modelo de la relación entre estas magnitudes es una fórmula.

El análisis de la solución y de la vía
.
En esta etapa se realiza la comprobación de la situación problema, la cual debe realizarse de acuerdo con las relaciones que se establecen en el enunciado. No solo se evalúa la solución sino también la vía de solución. Aquí se hacen consideraciones retrospectivas, donde se retoman los procedimientos y métodos utilizados para el plan de solución. Se reflexiona sobre la existencia de otra vía de solución o de utilizar esta vía de solución en otras situaciones similares.

Acción número 3

Bajo la dirección del profesor, se someten a la comparación y al análisis los objetos encontrados como soluciones de los problemas propuestos, con el objetivo de seleccionar características esenciales que sean satisfechas por cada uno de estos objetos y que permitan identificarlos y diferenciarlos de otros objetos (formación del contenido del concepto) y mediante un proceso de abstracción expresarlas en forma de propiedades matemáticas.

Acción número 4

En este paso, mediante un proceso de síntesis se agrupan en una clase todos los objetos que satisfacen el sistema de propiedades determinado en la acción anterior, a través del proceso de generalización se consideran en una clase todos los objetos que fueron comparados, y que cumplan todas las propiedades que como resultado del proceso de síntesis se agruparon en una clase y se da a conocer el nombre del concepto cuya extensión está formada por todos esos objetos.

Acción número 5

El profesor propone a los alumnos varias tareas, las cuales éstos deben resolver, de forma independiente o con la ayuda del docente o de algún compañero más capaz, las cuales pueden ser de uno de los tipos siguientes:

• Identificar el concepto y argumentar.
• Citar ejemplos y argumentar.
• Citar contraejemplos y argumentar.
• Resolver problemas en cuya modelación esté involucrado el concepto.
• Plantear problemas cuya solución sea un elemento de la extensión del concepto.

Acción número 6

El alumno resuelve las tareas con la ayuda del profesor o de un compañero más capaz, el profesor controla el trabajo de los alumnos y brinda ayuda a los que lo necesiten.

2.2 Aplicación del procedimiento didáctico a la formación del concepto función lineal a pedazos

Acción uno del procedimiento
Asignación de situaciones problemas

Situación 1
Un móvil parte con movimiento rectilíneo uniforme de un punto A hacia un punto B que se encuentra a 180m de distancia de A. Se ha medido para distintos instantes de tiempo las distancias del móvil con respecto al punto A, obteniéndose:



a) ¿Qué valores puede tomar el tiempo recorrido del punto A hasta el punto B?
b) ¿Qué valores puede tomar la distancia recorrida por el móvil?
c) Encuentre una fórmula que te permita calcular la distancia recorrida por el móvil, conociendo el tiempo transcurrido.

Situación 2
Se conoce que el costo en pesos del envío de un bulto postal está determinado por la cantidad de kilogramos que pesa de acuerdo a la ley siguiente:



Nota: El peso máximo de cada bulto postal es de 5kg.

a) Determine los valores que puede tomar el peso del bulto postal en kilogramos.
b) Determine los valores que puede tomar el costo en peso de cada bulto postal.
c) Encuentre una fórmula para calcular el costo del bulto postal, conociendo el peso del mismo.

Situación 3

A una cierta masa de agua destilada contenida en un recipiente se le suministra una cantidad de calor constante por minuto (durante tres horas), la temperatura aumenta linealmente. Durante los primeros 20 minutos el agua alcanza una temperatura de 100 C y después se estabiliza, dado que en este momento empieza a ocurrir un cambio de estado.

La temperatura inicial del agua es de 20 C
a) Encuentre los valores que admite el tiempo que se le suministra la cantidad de calor según la situación planteada.
b) Encuentre los valores que admite la temperatura según la situación planteada.
c) Determina una fórmula que te permita calcular la temperatura que alcanza el agua, conociendo el tiempo que se le suministra la cantidad de calor. Analiza si en todos los casos puedes utilizar la misma fórmula.

Situación 4

Se conoce que el costo en pesos del consumo de electricidad, está determinado por la cantidad de Kw. que se consume durante un tiempo determinado en una vivienda, de acuerdo con la ley siguiente:



a) ¿Qué valores puede tomar el costo en pesos del consumo de electricidad por cada Kw?
b) ¿Qué valores puede tomar el consumo de electricidad en Kw?
c) Encuentre una fórmula que te permita calcular el costo en pesos del consumo de electricidad en una vivienda durante un tiempo determinado, conociendo el consumo de electricidad en kw. Analiza si es posible utilizar la misma fórmula en todos los casos.

Acción dos del procedimiento
Solución de las situaciones problemas

Respuesta de la situación número 1
Sean:



Respuesta de la situación número 2
Sean:



Respuesta de la situación número 3
Sean:



Respuesta de la situación número 4
Sean:



Acción tres del procedimiento:

Determinación de un sistema de propiedades de los objetos encontrados en la solución de las situaciones problemas propuestas.
Después que los alumnos resuelvan cada situación problema el profesor puede orientar llenar una tabla como la siguiente:




La comparación de cada magnitud nos permite determinar las siguientes características:

• Los modelos de las magnitudes 1 y 2 permiten identificar como rasgo común que en todos ellos existe una variable cuyo dominio es un conjunto de números.
• La comparación de los modelos de la relación entre las dos magnitudes permite identificar como rasgos comunes:
• Para cada valor de una de las variables existe un único valor de la otra variable.
• La variable dependiente tiene exponente 1 y coeficiente 1
• La variable independiente tiene exponente 1
• Por intervalos del dominio de la variable independiente, los valores de la variable dependiente se obtienen de los valores de la variable independiente multiplicándola por un número y adicionándole otro número.

La primera de estas dos propiedades indica que en cada caso existe una función cuyo dominio es el primer conjunto y cuya imagen es parte del segundo.

La segunda propiedad indica una característica de cada una de las funciones representadas en la tabla.

Acción cuatro del procedimiento: Nombrar el concepto

Aquí el profesor debe agrupar en una clase todos los objetos que satisfacen el sistema de propiedades determinado en el paso anterior y nombrar el concepto a cuya extensión pertenecen esos objetos.

La representación analítica de las fórmulas encontradas para relacionar las magnitudes 1 y 2, tienen la forma de la función y = m x + n, donde m y n son símbolos para parámetros, que en cada caso particular tomarán valores fijos, y los signos x, y, representan, respectivamente, las variables independiente y dependiente, definidas sobre un conjunto de números reales.

Según los valores que pueden tomar m y n hemos dividido estas funciones en cuatro clases:



La colección de todos las ternas (X, Y, f) donde X es el dominio, Y es el codominio y f las ecuaciones funcionales que relacionan las magnitudes 1 y 2, se les llaman funciones lineales a pedazos.

Acción cinco del procedimiento:

En este paso el profesor asigna tareas para fijar el concepto.

Tarea 1
Dadas las siguientes funciones identifica cuáles son funciones lineales a pedazos y argumenta.



Tarea 2
Ponga ejemplos de funciones que sean lineales a pedazos y otras que no lo sean.

Tarea 3
Se conoce que el costo en peso del envío de una carta está determinado por la cantidad de onzas que pesa la carta de acuerdo a la ley siguiente: el peso máximo admisible de cada carta es de 5 onzas y por cada onza o fracción de ésta se paga 5 pesos de modo que si una carta pesa dos onzas o fracción de ésta el costo de su envío es de 15 pesos. Escriba la expresión analítica que describe la función lineal a pedazos que representa la situación planteada.

Tarea 4
Elabora un problema cuya solución requiera la búsqueda de una función lineal a pedazos.

Acción seis del procedimiento:

En este paso los alumnos resuelven las tareas propuestas por el profesor para fijar el concepto.

Conclusiones

La caracterización teórica realizada en el marco de este trabajo permitió a la autora sustentar teóricamente la elaboración del procedimiento didáctico pues existen vacíos en la didáctica de la matemática que necesitan continuar el estudio de la formación del concepto función lineal a pedazos.

A partir del estudio bibliográfico realizado por la autora se ha podido constatar que:

• Un concepto se ha formado cuando conoce su contenido y su extensión.
• Se concede gran importancia al papel de la resolución de problemas en la formación de conceptos matemáticos.
• La modelación matemática se considera un elemento importante en el proceso de formación de conceptos.

Se pudo constatar, mediante los métodos e instrumentos aplicados para conocer el estado inicial del problema, que existen limitaciones en la formación del concepto función lineal a pedazos en el nivel medio.

Para la formación del concepto función lineal a pedazos por medio de problemas, de acuerdo con el estudio realizado, se considera necesario proponer un procedimiento didáctico basado en el uso de la modelación matemática que consta de seis acciones.

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Enviado por MSc. Neysi Rodríguez Morales, MSc. Yini Santiesteban Ruiz, MSc. Ortelio Quero Méndez
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Publicado Monday 30 de March de 2009