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Enviado por ilustrados
Código ISPN de la Publicación: EpZElAFuppWOFVPxwA
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| Resumen: El concepto de conjunto es uno de los mas fundamentales en matematicas, incluso mas que la operacion de contar, pues se puede encontrar implicita o explicitamente, en todas las ramas de las matematicas puras y aplicadas. |
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Rama
de las matemáticas a las que el matemático Georg
Ferdinand Ludwing Philipp Cantor
es el padre de la Teoría de Conjuntos, dio su primer tratamiento formal en
1870. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas,
incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o
explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su
forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan
para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar
conceptos abstractos como el infinito.
En
el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría
de conjuntos.
DEFINICIONES
Sabemos
que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se
caracterizan en algo común.
En
matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos
o miembros del conjunto.
La
noción simple de una colección
o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas
y fue Georg
Cantor,
en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este
respecto.
No
puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de
conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe
aceptarse lógicamente como un término no definido.
Un
conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase.
Hay
dos formas de determinar conjuntos.
Por
extensión ó Forma Tabular:
Se
dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración),
cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo
a ellos.
Ejemplo:
A
= { a, e, i, o, u }
B
= { 0, 2, 4, 6, 8 }
C
= { c,
,
, j, u, t, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo
elemento.
Por
comprensión ó Forma Constructiva:
Se
dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una
propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.
Ejemplo:
A
= { x/x es una vocal }
B
= { x/x es un número par menor que 10 }
C
= { x/x es una letra de la palabra conjuntos }
CONJUNTOS
FINITOS
Un
conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es
decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar
puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito.
Ejemplo:
M
= { x / x es un río de la tierra } Conjunto finito
N
= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito
P
= { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito
V
= { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito
IGUALDAD
DE CONJUNTOS
Se
dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos,
es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a
B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.
En
la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.
Ejemplo:
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A
= {1, 2, 3, 4}
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C
= {1, 2, 3, 3, 4, 1}
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E
= {vocal
de la palabra mundo}
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B
= {3, 4, 1, 2}
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D
= {1, 2, 2, 3, 4, 4,}
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F
= {u,
o}
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A
= B
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C
= D
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E
= F
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CONJUNTO
VACÍO
Es
un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le
denota por el símbolo
ø
o { }.
Ejemplo:
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A
= { Los perros que vuelan }
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A
= { }
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A
= Ø
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B
= { x / x es un mes que tiene 53 días}
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B
= { }
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B
= Ø
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C
= { x / x3 = 8 y x es impar }
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C
= { }
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C
= Ø
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D
= { x / x es un día de 90 horas }
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D
= { }
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D
= Ø
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CONJUNTO
UNITARIO
Es
todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.
Ejemplo:
A
= { 5 }
B
= {números pares entre 6 y 10} = { 8 }
C
= {la capital del Perú } = { Lima }
D
= {x / 2x = 6} = {3}
CONJUNTO
UNIVERSAL
Es
el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término
relativo. Se le denota por la letra U.
Ejemplo:
Sean
los conjuntos:
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A
= { aves }
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B
= { peces }
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C
= { conejos }
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|
D
= { monos }
|
Existe
otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es
U
= { animales }
Gráficamente
se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
Sean
los conjuntos:
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E
= { mujeres }
|
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|
F
= { hombres }
|
Existe
otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es
U
= { seres humanos }
Gráficamente
se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.
CONJUNTO
POTENCIA
La
familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de
M. Se le denota como 2M .
Ejemplo:
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a)
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M
= { 1, 2 }
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El
conjunto M tiene 2 elementos
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2M
=
{
{1}, {2}, {1, 2},
ø}
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entonces
22 = 4 elementos
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b)
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M
= {
1, 2, 3 }
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El
conjunto M tiene 3 elementos
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2M
=
{
{1}, {2}, {3}, {1, 2},
{1,
3}, {2, 3}, {1, 2, 3},
ø}
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entonces
23 = 8 elementos
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Si
un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto
potencia 2M tendrá 2n elementos.
CONJUNTOS
DISJUNTOS
Si
dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son
disjuntos.
Ejemplo:
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Conjuntos
disjuntos
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Conjuntos
no disjuntos
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A
= { 2, 4, 6 }
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M
=
{
o, p, q, r, s }
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B
= { 1, 3, 5 }
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N
= { s, t, v, u }
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A
y B son disjuntos.
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M
y N no son disjuntos.
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C
= { x/x es una letra del alfabeto }
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P
=
{
x/x es una letra de la palabra aritmética }
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D
= { x/x es un número }
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Q
=
{
x/x es una letra de la palabra algebra }
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C
y D son disjuntos
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P
y Q no son disjuntos
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DIAGRAMA
DE VENN
A
cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los
elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o
pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados,
para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una
poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.
A
continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas
igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por
el rayado múltiple).
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El
gráfico es la representación de la unión
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El
gráfico es la representación de la intersección
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El
gráfico es la representación de la diferencia
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UNIÓN
DE CONJUNTOS
La
unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se
define como:
A
U B = {x / x
A o x
B}
En
forma gráfica:
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Cuando
no tienen
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Cuando
tienen algunos
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Cuando
todos los elementos de un
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elementos
comunes
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|
elementos
comunes
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|
conjunto
pertenecen a otro conjunto
|
Ejemplo:
1.
Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8
}, efectuar y construir los diagramas respectivos:
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a)
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A
U C
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b)
|
B
U C
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c)
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A
U B
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Tenemos:
a)
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
y C = { 5, 6, 8 }
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A
U C =
{ 0, 1, 2, 3, 4,
, 6, 8 }
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Representación
gráfica de la unión de conjuntos A y C
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b)
B = { 0, 2, 4 } y C
= { 5, 6, 8 }
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|
B
U C = { 0, 2, 4, 5, 6, 8 }
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Representación
gráfica de la unión de conjuntos B y C
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c)
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
y B = { 0, 2, 4 }
|
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|
A
U B = {
, 1,
, 3,
, 5 }
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Representación
gráfica de la unión de conjuntos A y B
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INTERSECCIÓN
DE CONJUNTO
Se
define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son
comunes a A y B. Se denota por A
B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede
definir:
A
B = { x / x
A y x
B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:
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Cuando
tienen
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Cuando
no tienen
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Cuando
todos los elementos de un
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elementos
comunes
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|
elementos
comunes
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|
conjunto
pertenecen a otro conjunto
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Ejemplo:
1.
Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 },
efectuar y construir los diagramas respectivos:
Tenemos:
a)
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
y C = { 2, 4 }
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A
C = {
,
}
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Representación
gráfica de la intersección de conjuntos A y C
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b)
B = { 3, 5, 7 }
y C = { 2, 4 }
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B
C
= { }
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Representación
gráfica de la intersección de conjuntos B y C
|
c)
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B
= { 3, 5, 7 }
|
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A
B = {
,
}
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Representación
gráfica de la intersección de conjuntos A y B
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DIFERENCIA
DE CONJUNTOS
Se
denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los
elementos de A pero que no pertenecen a B.
La
diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se
define la diferencia de dos conjuntos también como:
A
- B = {x / x
A y x
B}
Mediante
un diagrama de Venn - Euler:
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Cuando
no tienen
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Cuando
tienen
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Cuando
todos los elementos de un
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|
elementos
comunes
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|
elementos
comunes
|
|
conjunto
pertenecen a otro conjunto
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Ejemplo:
1.
Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g },
efectuar y construir los diagramas respectivos:
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a)
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A
–
C
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b)
|
B
- C
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c)
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A
-
B
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Tenemos:
a)
A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g
}
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A
-
C =
{ a,
b, c, e }
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Representación
gráfica de la diferencia de conjuntos A y C
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b)
B = { a, e } y C = { d, f, g }
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B
-
C =
{ a,
e }
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Representación
gráfica de la diferencia de conjuntos B y C
|
c)
A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }
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A
-
B =
{ b,
c, d }
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Representación
gráfica de la diferencia de conjuntos A y B
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COMPLEMENTO
DE UN CONJUNTO
Si
un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A'
formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento
de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:
A'
= { x/x
U y x
A }
Ejemplo:
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a)
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Sean
U = { m, a, r, t, e }
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|
Y
|
|
A
= { t, e }
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Su
complemento de A es:
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A'
= { m, a, r }
|
|
b)
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Sean
U
=
{
letras de la palabra aritmética}
|
|
y
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B
= { vocales de la palabra vida }
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Determinado
por extensión tenemos
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U
=
{
a, r, i, t, m, e, c }
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B
= { i, a }
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Su
complemento de B es:
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B'
= { r, t, m, e, c }
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Enviado por ilustrados
Contactar http://www.lafacu.com/apuntes/matematica
Código ISPN de la Publicación: EpZElAFuppWOFVPxwA
Publicado Friday 19 de December de 2003
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