1.
Oscilaciones
amortiguadas
2.
Definición
3.
Resonancia
4.
Ejemplos
La teoría de los movimientos
armónicos forzados es fundamental en muchos ámbitos de la física y la
ingeniería.
Un oscilador amortiguado por sí
solo dejará de oscilar en algún momento debido al roce, pero podemos mantener
una amplitud constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo de una
forma periódica a una frecuencia definida. Un ejemplo cotidiano es un columpio,
que podemos mantenerlo con amplitud constante con sólo darle unos empujoncitos
una vez cada ciclo. El movimiento resultante se llama oscilación forzada. Si se
suprime la excitación externa, el sistema oscilará con su frecuencia natural.
Si la fuerza impulsora se
aplica con una frecuencia cercana a la natural, la amplitud de oscilación es máxima.
Aí mismo si la frecuencia coincide con la natural la amplitud de la velocidad
se hace máxima. Este fenómeno se denomina resonancia.
Se
pueden apreciar tres tipos diferentes de comportamiento:
Si la frecuencia de excitación
es muy pequeña (lo que equivale a que se hace oscilar el extremo superior del
muelle muy lentamente), el muelle oscila prácticamente en fase con la excitación
y con su misma amplitud.
Si la frecuencia de excitación
coincide con la frecuencia característica del muelle, la amplitud de oscilación
va creciendo cada vez más (resonancia); en este caso, las oscilaciones del
muelle están retrasadas alrededor de un cuarto de período respecto a la
excitación.
Si la frecuencia de excitación
es muy alta, el resonador oscila con una amplitud muy pequeña y casi en oposición
de fase.
Si la constante de atenuación
(debida al rozamiento) es muy pequeña, el estado transitorio adquiere
relevancia; por tanto, es necesario esperar algún tiempo para observar los
tipos de comportamiento mencionados.
Oscilaciones
amortiguadas
En el caso de los osciladores
reales es inevitable que parte de su energía se disipe debido a fuerzas de
origen "viscoso", es decir fuerzas que (en el límite lineal que
estamos estudiando) sean proporcionales a la velocidad del oscilador es decir a
la derivada primera de espacio respecto del tiempo. Así, la ecuación
diferencial que representa el movimiento de un oscilador real (para pequeños
desplazamientos respecto de su posición de equilibrio):
dx2
/ dt2+ b dx / dt +w2x = 0
la solución de esta ecuación
contiene un factor que da cuenta de la disminución de la amplitud con el
tiempo, de manera que su solución x(t) es:
x(t) = A o e
-(b / 2 m) t cos(w' t + f)
donde
w' =wo[1
-(b / 2mwo)2]½
de manera que la energía total
del oscilador puede escribirse ahora como:
Etotal = ½ k A o2 e
-(b / m) t
Oscilaciones forzadas y
resonancia
Siempre es posible
"forzar" todo oscilador mediante una fuerza externa que sea función
del tiempo. Supongamos que esta fuerza es periódica de periodo Text,
es decir
dx2 / dt2+ b dx / dt
+w2x = Fmaxcos(wextt)
Bajo la acción de esta fuerza,
la amplitud de las oscilaciones resultantes, es ahora una función de la
frecuencia de forzado wext,
y tendrá un máximo cuando la la frecuencia del forzado sea igual a la
frecuencia propia o natural del oscilador. A este fenómeno se lo conoce con el
nombre de resonancia.
-
Definición
La energía
de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo, como resultado de la fuerza
disipativa. Es posible compensar esta pérdida de energía aplicando una fuerza
externa que suministre la energía disipada realizando un trabajo positivo sobre
el sistema. En cualquier instante, es posible agregar energía al sistema por
medio de una fuerza aplicada que actúe en la dirección del movimiento del
oscilador.
el oscilador forzado, está
sometido a una fuerza restauradora y a una fuerza externa (fuerza impulsora) que
varía armónicamente con el tiempo cuya expresión obedece a una del tipo:
en donde Fo
es constante y w
al
se ralugna
aicneucerf euq
,azreuf al ed al
noc adanoicaler átse on etnemlareneg larutan
ralugna aicneucerf led
ametsis
wo.
asam
ed otejbo nU m
azreuf
ed etnatsnoc ed elleum
nu a otejus k
arodaugitroma
azreuf anu a oditemos vb-
anretxe
azreuf anu a y Fo cos w
t obedece entonces a la ecuación del movimiento dada por
o sea
en donde hemos puesto
y
La solución de la ecuación
consta de dos partes, la solución transitoria y la solución estacionaria. La
parte transitoria de la solución es idéntica a la de un oscilador amortiguado
no forzado dada por
Las constantes de esta solución,
A y d,
dependen de las condiciones iniciales. Transcurrido cierto tiempo, esta parte de
la solución se hace despreciable porque la amplitud disminuye exponencialmente
con el tiempo. De este modo sólo queda la solución estacionaria, que no
depende de las condiciones iniciales y que se puede escribir como
en donde la frecuencia angular w
es la misma que la de la fuerza impulsora.
La amplitud A viene dada por
y la constante de fase d
por
Observando las ecuaciones
podemos ver que el desplazamiento del sistema y la fuerza impulsora oscilan con
la misma frecuencia pero difieren en fase en d.
El signo negativo de la fase
se ha introducido para que la constante de fase d
sea positiva.
Resonancia
La amplitud
y, por tanto, la energía de un sistema en estado estacionario, depende no sólo
de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia.
Se define la
frecuencia natural de un oscilador como la que tendría si no estuviesen
presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor.
El
fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia impulsora es igual (o
aproximadamente igual) a la frecuencia natural del sistema, es decir, w
= wo.
En esta situación d
= p/2.
En esta imagen se observa una
gráfica que representa la amplitud frente a la frecuencia de un oscilador
amortiguado cuando se encuentra presente una fuerza impulsora periódica. Cuando
la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural, wo,
aparece la resonancia. Se observa que la forma de la curva de resonancia depende
del valor del coeficiente de amortiguamiento, b.
La cantidad media de energía absorbida en
un ciclo es igual a la potencia media producida por la fuerza impulsora. En la
figura se muestra un diagrama de la potencia media transmitida a un oscilador en
función de la frecuencia de la fuerza impulsora o externa para dos valores
diferentes de amortiguamiento (y por tanto de Q).
Estas curvas reciben el nombre de curvas de
resonancia. Cuando el amortiguamiento es pequeño (el valor de Q es alto), la
potencia consumida en la resonancia es mayor y la resonancia es más aguda; es
decir, la curva de resonancia es más estrecha, lo que quiere decir que la
potencia suministrada es grande sólo cerca de la frecuencia de resonancia.
Cuando el amortiguamiento es grande (el valor de Q es pequeño), la curva de
resonancia es más achatada y la potencia suministrada toma valores más
para w
diferentes de la de resonancia.
Para amortiguamientos
relativamente pequeños, el cociente entre la frecuencia de resonancia wo
y la anchura total a la mitad del máximo Dw
es igual al factor Q (que ya se definió en oscilaciones amortiguadas):
Por tanto,
el factor Q nos indica directamente si la resonancia es aguda o no y en qué
medida lo es.
En resumen,
cuando se está en resonancia:
- la
amplitud del oscilador es máxima;
- la
energía absorbida por el oscilador es máxima;
- la
constante de fase d
= p/2;
- la
velocidad está en fase con la fuerza impulsora como se observa al operar:
según
esto, el oscilador siempre se está moviendo en el sentido en que actúa la
fuerza impulsora, por lo que se consigue el máximo aporte de energía.
* Resonancia e incertidumbre
Hemos visto que la amplitud de un oscilador armónico impulsado y amortiguado
tiene un pico de resonancia. También hemos visto que el oscilador armónico
amortiguado, sin impulsión, tiene un tiempo de decaimiento característico.
Estos fenómenos se relacionan estrechamente, y esa relación tiene
consecuencias importantes sobre nuestra capacidad de construcción de sistemas
con resonancias, como sintonizadores, o filtros de radio para eliminar el ruido
electrónico.
La
ecuación permite obtener la rapidez a la cual se disipa la energía en un
oscilador amortiguado no impulsado. La energía es proporcional a la amplitud al
cuadrado y, por
consiguiente, decrece de
acuerdo con
,
en la cual
es
la vida media. La vida media determina el decaimiento debido al amortiguamiento.
El ancho de frecuencias del oscilador armónico forzado está representado por
la ecuación
,
y vemos que es inversamente proporcional a t.
De acuerdo con las ecuaciones anteriores, tenemos que
t
wD
es del orden de 1.
A esta ecuación se le conoce como principio de incertidumbre; expresa la
posibilidad de medir efectos físicos que sean arbitrariamente precisos, tanto
en tiempo como en frecuencia. Hablando con propiedad, sólo lo hemos deducido
para una fuerza especial de amortiguamiento. Pero en realidad representa una
propiedad muy general. Afirma que si el tiempo de amortiguamiento de un
oscilador es grande, entonces el ancho de resonancia es pequeño, y viceversa.
Cuanto más débil es el amortiguamiento de un oscilador armónico, con más
definición responde a, o selecciona, una fuerza de impulsión armónica de la
frecuencia adecuada. Veremos el significado de este resultado en un ejemplo.
[inicio]
2.- Ejemplos
Existen
muchos ejemplos familiares de resonancia.
Cuando nos sentamos en un
columpio y nos impulsamos, la fuerza impulsora no es armónica simple. Sin
embargo, es periódica y se aprende intuitivamente a bombear con el cuerpo con
la misma frecuencia que la natural del columpio.
Cuando un grupo de soldados
pasa por un puente pequeño, normalmente dejan de marcar el paso porque es
posible que la frecuencia de su marcha sea próxima a una de las frecuencias de
resonancia del puente, y este puede romperse al empezar a oscilar en resonancia.
Muchas máquinas vibran porque
tienen piezas en rotación que no están perfectamente equilibradas. Si se
sujeta una máquina de estas a una estructura que puede vibrar, dicha estructura
se convierte en un sistema forzado que puede iniciar su movimiento por la acción
de la máquina.
Puede romperse un vaso con bajo
amortiguamiento mediante una onda sonora intensa con un frecuencia igual o muy
próxima a la frecuencia natural de vibración del mismo.
Uno de los usos importantes del
fenómeno de resonancia, tanto en sistemas mecánicos como en circuitos eléctricos,
es que nos permite seleccionar o filtrar, determinadas frecuencias en un
sistema, dejando que el sistema funcione como fuerza de impulsión en nuestro
selector. El sintonizador de una radio, que escoge determinada estación, es un
ejemplo. La ecuación que define al principio de incertidumbre establece límites
estrictos a nuestra capacidad de diseño de filtros, que pueden responder sólo
a unos límites estrechos de frecuencias impulsoras. Los efectos de estos
filtros se desvanecen con más lentitud a medida que las frecuencias que
seleccionan son más y más limitadas. es un resultado muy general, que no se
puede evitar por más ingenioso que sea un diseño.
Vicky
Galvis
polluno1@hotmail.com
