1. Introduccion

El presente trabajo es una investigación sobre el circuito RC, un circuito que cuenta con infinidad de aplicaciones, para ello se establece en primer lugar el desarrollo matemático del mismo , acompañado de un argumento teórico y seguido de ejemplos para apoyar las ideas planteadas en este trabajo.
El simple acto de cargar o descargar un capacitor, se puede encontrar una situación en que las corrientes, voltajes y potencias si cambian con el tiempo, los capacitores tienen muchas aplicaciones que utilizan su capacidad de almacenar carga y energía; por eso, entender lo que sucede cuando se cargan o se descargan es de gran importancia practica.
Muchos circuitos eléctricos contienen resistores y capacitores. La carga/ descarga de un capacitor tiene muchas aplicaciones.
Por ejemplo algunos automóviles vienen equipados con un elemento mediante el cual los limpiadores del parabrisas se utilizan de manera intermitente durante una llovizna ligera. En este modo de operación los limpiadores permanecen apagados durante un rato y luego se encienden brevemente.
La duración del ciclo encendido/apagado es determinada por la constante de tiempo de una combinación resistor-capacitor.

2. Circuitos RC

La figura ilustra un ejemplo de un circuito resistor-capacitor, o circuito RC. En la parte a del dibujo un interruptor completa el circuito en el punto A, de modo que la batería puede cargar las placas del capacitor. Cuando el interruptor esta cerrado, el capacitor no se carga de inmediato . En vez de lo anterior , la carga llega gradualmente a su valor de equilibrio de q= CV_o, en donde V_o es la tensión de la batería.

3. Carga de un capacitor

Si cargamos al capacitor de la figura siguiente al poner el interruptor Sen la posición a. ¡ Que corriente se crea en el circuito cerrado resultante?, aplicando el principio de conservación de energía tenemos:

En el tiempo dt una carga dq (=i dt) pasa a través de cualquier sección transversal del circuito. El trabajo ( = Є dq) efectuado por la fem debe ser igual a la energнa interna ( i² Rdt) producida en el resistor durante el tiempo dt, mas el incremento dU en la cantidad de energía U (=q²/2C) que esta almacenada en el capacitor. La conservación de la energía da:
Є dq = i² Rdt + q²/2C
Є dq = i² Rdt + q/c dq
Al dividir entre dt se tiene:
Є dq / dt = i² Rdt + q/c dq/dt
Puesto que q es la carga en la placa superior, la i positiva significa dq/dt positiva. Con i = dq/dt, esta ecuación se convierte en
:
Є = i Rdt + q/c
La ecuación se deduce tambien del teorema del circuito cerrado, comodebe ser puesto que el teorema del circuito cerrado se obtuvo a partir del principio de conservación de energía . Comenzando desde el punto xy rodeando al circuito en el sentido de las manecillas del reloj, experimenta un aumento en potencial, al pasar por la fuentge fem y una disminución al pasar por el resistor y el capacitor , o sea :
Є -i R - q/c = 0
La cual es idéntica a la ecuación Є = i Rdt + q/c sustituimos primero por i por dq/dt, lo cual da:
Є = R dq / dt + q/c
Podemos reescribir esta ecuación así:
dq / q - Є C = - dt / RC
Si se integra este resultado para el caso en que q = 0 en t= 0, obtenemos: (despejando q),
q= C Є ( 1 – e^-t/RC)
Se puede comprobar que esta función q (t) es realmente una solución de la ecuación
Є = R dq / dt + q/c , sustituyendol en dicha ecuaciуn y viendo si reobtiene una identidad. Al derivar la ecuación q= C Є ( 1 – e^-t/RC) con respecto al tiempo da:
i = dq = Є e^-t/RC
dt R
En las ecuaciones q= C Є ( 1 – e^-t/RC) y i = dq = Є e^-t/RC la cantidad RC tiene
dt R
las dimensiones de tiempo porque el exponente debe ser adimensional y se llama constantecapacitiva de tiempo τ _C del circuito
τ _C = RC
Es el tiempio en que ha aumentado la carga en el capacitor en un factor 1- e^-1 (~63%) de su valor final C Є , Para demostrar esto ponemos t = τ _C = RC en la ecuación q= C Є ( 1 – e^-t/RC) para obtener:
q= C Є ( 1 – e^-1) = 0.63 C Є

Grafica para el circuito

Corriente i y carga del capacitor q. La corriente inicial es Io y la carga inicial en el capacitor es cero. La corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf.
Grafica para los valores Є= 10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F 

Esta figura en la parte a muestra que si un circuito se incluye una resistencia junto con un capacitor que esta siendo cargado, el aumento de carga en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor limite.
Tambien en la parte a como se indica por la diferencia de potencial V_c, la carga aumente con el tiempo durante el proceso de carga y V_c tienede la valor de la fem Є.
El tiempo se mide en el momento en que el interruptores conecta en a para t= 0.
En la parte b de la figura La diferencia de potencial en el resistor disminuye con el tiempo, tendiendo a 0 en tiempos posteriores poruqe la corriente cae a cero una vez que el capacitor esta totalmente cargado. Las curvas esta dibujadas para el caso Є=
10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F. Los triangulos negros representan las constantes de tiempos sucesivas.

4. Constante de tiempo

Después de un tiempo igual a RC, la corriente en el circuito R- C disminuye a 1/e ( cerca de 0.38) de su valor inicial. En este momento, la carga del capacitor ha alcanzado
(1 – 1/e) = 0.632 de su valor final Q_f= C Є .
El producto RC es, pues una medida de que tan rápido se carga el capacitor. RC se llama constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito y se representa con τ :
τ = RC ( constante de tiempo para un circuito R – C).
Cuando τ es pequeρa, el capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas grande, la carga lleva mas tiempo.
Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya corriente y el capacitor se carga en menor tiempo.
Ejemplos. Carga de un capacitor en un circuito RC
1) Un capacitor descargado y una resistencia se conectan en serie con una bateria como se muestra en la figura siguiente. Si Є= 12v, C= 5 μ F y R= 8 x 10 ⁵ Ώ, dterminese la constante de tiempo del circuito, la maxima carga en el capacitor, la maxima corriente en el circuito y la carga y la corriente cono funcion del tiempo.

Solucion:
La constante de tiempo del circuito es τ _C = RC = (8 x 10 ⁵ Ώ) (5 x 10^-6 F) = 4s. La
Maxima carga en el cpacitor es Q= C Є = (5 x 10^-6 F)(12V)= 60 μC. La maxima
corriente en el circuito es I₀ = ЄR = (12V) / (8x10 ⁵ Ώ) = 15 μ A. Utilizando estos
valores y las ecuaciones q= C Є ( 1 – e^-t/RC) y i = dq = Є e^-t/RC
dt R
se encuentra que:
q(t) = 60 ( 1 – e^-t/4) μC
I (t) 15 e^-t/4 μ A
Las graficas de estas funciones son las siguientes:

2) Un resistor R (=6.2M Ώ) y un capacitor C (=2.4 μ F) estan conectados en serie, y a traves de esta combinaciσn se conecta una bateria de 12 V de resistencia interna insignificacnte . A) ΏCuál es la constante capacitiva de tiempo de estecircuito? B) ¿Qué tiempo después de haber conectado la bateria, la diferencia de potencial en el capacitor es igual a 5.6 V?

Solución:
a)De la ecuación τ _C = RC tenemos:
τ _C = RC = (6.2M Ώ) (2.4 x10^-6 F) = 15 s
b) La diferencia de potencial en el capacitor es de V_c = q/c, lo cual, de acuerdo con la ecuación q= C Є ( 1 – e^-t/RC) puede escribirse
V_c = q/c = Є ( 1 – e^-t/RC)
Al despejar t obtenemos (usando τ _C = RC)
t= - τ _C ( 1 – V_c )
Є
t = - (15s) ln (1 – 5.6 V ) 9.4 s
12v

5. Descarga de un capacitor

Considerese el circuito de la siguiente figura que consta de un capacitor con una carga inicial Q, una resistencia y un interruptor. Cuando el interruptor está abierto (parte a), existe una diferencia de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia de potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la reisistencia. En algún tiempo durante ladescarga, la corriente en el circuito es I y la carga del capacitor es q (parte b) .
De la segunda Ley de Kirchhoff, se ve que la caída de potencial a traves de la resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q / C:
IR = q
c

Sin embargo, la corriente en el circuito debe ser igual a la rapidez de decrecimiento de la carga en el capacitor. Es decir, I = - dq/ dt, así la ecuación IR = q/c viene a dar :
- R dq = q
dt c
dq = - 1 dt
q RC

Integrando esta expresión y utilizando el hecho de que q= Q para t = 0 se obtiene:

 Diferenciando la última ecuación con respecto al tiempo se tiene la corriente como función del tiempo:

donde la corriente inicial I_o = Q/RC. Por lo tanto, se ve que la carga del capacitor y la corriente decaen exponencialmente a una rapidez caracterizada porla constante de tiempo
τ = RC.

Gráfica para el circuito

Corriente i y carga del capacitor q como funciones del tiempo para el circuito. La corriente Io y la carga inicial Qo: tanto i como q se acercan asintóticamente a cero.
Ejemplos. Descarga de un capacitor en un circuito RC
1) Considerese el capacitor C descargandose a traves de la resistencia R como muestra la figura. a) Después de cuántas constantes de tiempo la carga en el capacitor será la cuarta parte de su valor inicial?

Solución: La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación
q(t) = Qe^-t/RC
donde q es la carga inicial en el capacitor. Para determinar el tiempo que tomaría la carga en caer hasta una cuarta parte de su valor inicial, se sustituye q 8t) = Q / 4 en esta expresión y se despeja para t:
¼ Q = Qe^-t/RC
o
¼ = e^-t/RC

Tomando logaritmos de ambos lados, se encuentra que :
-ln4 = -t / RC
o
t= RCln4 = 1.39 RC
b) La energía almacenada en el capacitor decrece con el tiempo cuando está descargando. ¿ Después de cuántas constantes de tiempo la energía almacenada se reduciría la cuarta parte de su valor inicial?
Solución: Utilizando las ecuaciones se puede expresar la energía almacenada en el capacitor en cualquier tiempo :
U = q² = Q² e^-2t/RC = U_o e^-2t/RC
2C 2C
donde U_o es la energía inicial almacenada en el capacitor como en el inciso a), ahora considerese U = U_o /4 y despejes t:
1/4U_o = U_o e^-2t/RC
¼ = e^-2t/RC
Nuevamente, tomando logaritmos de ambos lados y despejando t se obtiene:
t = ½ RC ln4 = 0. 693 RC
2) Un capacitor C se descarga a través de un resistor R. a) ¿ Después de cuantas constantes de tiempo disminuye su carga a la mitad de su valor inicial? b) ¿ Después de cuántas constantes de tiempo, la energía almacenada disminuye su valor inicial?
Solución: a) La carga en el capacitor varía de acuerdo con la ecuación
q(t) = Qe^-t/RC
1/2Q = Qe^-t/RC
-ln2 = -2/ τ _C
t = τ _C ln2 / 2 = 0.35
La carga cae a la mitad de su valor inicial después de 0.69 constantes de tiempo.
b) La energía del capacitor es
U = q² = Q² e^-2t/RC = U_o e^-2t/RC
2C 2C
1/2U_o = U_o e^-2t/RC
-ln 2 = -2t/ τ _C
t = τ _C ln2/2 = 0.35 τ _C
La energía almacenada cae a la mitad de su valor inicial después de transcurridas 0.35 constantes de tiempo. Esto sigue
siendo así dependientemente de cuál haya sido la energía almacenada inicialmente. El tiempo ( 0.69 τ _C) necesario para que la carga caiga a la mitad de su valor inicial es mayor que el tiempo (0.35 τ _C) necesario para que la energía siga a la mitad de su valor inicial.

6. Conclusiones

Los capacitores tienen muchas aplicaciones que utilizan su capacidad de almacenar carga y energía
El acto de cargar o descargar un capacitor, se puede encontrar una situación en que las corrientes, voltajes y potencias si cambian con el tiempo.
Cuando τ es pequeρa, el capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas grande, la carga lleva mas tiempo.
Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya corriente y el capacitor se carga en menor tiempo.
Cuando se carga un capacitor ,la corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf y el aumento de carga en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor limite.
Cuando se descarga un capacitor.la corriente Io y la carga inicial Qo: tanto i como q se acercan asintóticamente a cero.La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación q(t) = Qe^-t/RC.
la caída de potencial a traves de la resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q / C entonce IR = q/c .
Cuando el interruptor está abierto, existe una diferencia de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia de potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la reisistencia.

7. Bibliografia

1) Serway Raymond A. "Fisica Tomo II"
Tercera edición en español ,Editorial Mc Graw Hill. Mexico, 1992
2) Halliday David / Resnick Robert / Krane Kenneth S. "Fisica Vol.2"
Tercera edición en español , Editorial Continental. México, 1996
3) Cutnell John D. / Jonson Kenneth W. "Fisica"
Primera edición , Editorial Limusa. México, 1986
4) Sears Francis W. / Zemansky Mark W. / Young Hugh D./ Freedman Roger A.
" Fisica Universitaria Vol.2 " novena edición, Editorial Addison Wesley. México, 1998

Trabajo enviado por:
Franco Lupio Bobadilla
francolupio@aol.com