Indice
1.
Péndulo Físico
2. Centro de
Oscilación
3. Momento de inercia
y Teorema de STEINER
1. Péndulo Físico
Se denomina Péndulo Físico,
a cualquier péndulo real, o sea, que en contraste con el péndulo simple no
tiene toda la masa concentrada en un punto.
(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar
Trabajo")
Un péndulo físico, de forma de lámina, cuyo centro de masa es C,g tiene un
eje de rotación en P y se separa un ángulo j de su posición de equilibrio.
En la figura, un cuerpo de forma irregular está articulado alrededor de un eje
horizontal sin rozamiento que pasa por P y se desplaza un ángulo j de la posición
de equilibrio. La posición de equilibrio es aquella para la cual el centro de
masa del cuerpo C.G, se encuentra debajo de P y en la vertical que pasa por ese
punto.
La distancia del eje al centro de masa es d,e momento de inercia del cuerpo con
respecto a un eje pasa por el eje de rotación
es I, y la masa del cuerpo es m. El momento restaurador para un desplazamiento
angular j es:
M = -m g d sen j
Y se debe a la componente
tangencial de la fuerza de gravedad. Puesto que M es proporcional a sen j y no a
j , la condición para que el movimiento sea armónico simple, en general, no se
cumple en este caso. Sin embargo, para pequeños desplazamientos angulares, la
relación sen j º j es, como anteriormente, una excelente aproximación, de
manera que para que pequeñas amplitudes,
M = -m g d j
O sea M = -Kj
Siendo K = m g d
Pero M
De manera que
Por consiguiente, el periodo
de un péndulo físico que oscila con pequeña amplitud es:
Para amplitudes mayores, el
péndulo físico sigue teniendo un movimiento armónico, pero no simple.
2. Centro de
Oscilación
Es siempre posible encontrar
un péndulo físico simple equivalente cuyo periodo sea igual al de un péndulo
físico dado. Si lo es la longitud del péndulo simple equivalente.
;
o bien,
Así en lo que concierne al
periodo de oscilación, la masa de un péndulo físico puede considerarse
concentrada en un punto cuya distancia al eje es to = I/m. Este punto se
denomina centro de oscilación del péndulo.
La siguiente figura representa un cuerpo que puede oscilar alrededor de un eje
que pasa por P y cuyo centro de oscilación está en el punto C. El centro de
oscilación y el punto soporte tiene la siguiente propiedad interesante, a
saber; si el péndulo se hace oscilar alrededor de un nuevo eje que pasa por C,
su periodo no varía y el P se convierte en centro de oscilación. El punto
soporte y el centro de oscilación se dice que son conjugados uno de otro.
El centro de oscilación tiene otra propiedad importante, también se observa un
bate de baseball sostenido o pivoteado en el punto O. Si una pelota golpea el
bate en su centro de oscilación, no se ejerce ninguna fuerza de impulso sobre
el pivote y por tanto no se nota ninguna molestia si el bate está contenido con
la mano por dicho punto. Por esta propiedad, al centro de oscilación se le
denomina centro de percusión.
3. Momento de
inercia y Teorema de STEINER
Se sabe que un cuerpo rígido,
está compuesto de un número muy grande de partículas de modo que la suma.
I
= m1R21 + m2R22
+ m3R23 + ......... =
å imiR2i
(Para ver el gráfico
faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
Debe reemplazarse por un
integral I = å imiR2i = ò R2dm,
o sui P es la densidad del cuerpo dm = edv
I = ò PR2dv ............. (1)
Si el cuerpo es homogéneo,
su densidad es constante, y en lugar de (1) podemos escribir I = ò PR2dv.
La integral se reduce así a un factor geométrico, igual para todos los cuerpos
con la misma forma y tamaño. Notamos que en la figura R2 = X2 + Y2,
el momento de inercia con respecto a Z.
IZ = ò P)x2 +
y2=dv ................... (2)
Si el cuerpo es una placa
delgada, como es muestra, notamos que el momento de inercia con respecto al eje
x e y puede escribirse como:
lx = ò Py2dv e
Iy = ò Px2dv
Ya que la coordenada Z es
esencialmente cero.
La comparación con la
ecuación (2) muestra este caso:
Iz = Ix = Iy
Resultado que es válido
solamente para placas delgadas.
Los momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos están relacionados
una fórmula muy simple.
Sea Z un eje arbitrario y Zc un eje paralelo que pasa a través del centro de
masa del cuerpo.
Si "a" es la separación entre los dos ejes, la siguiente relación,
denominada TEOREMA DE STEINER, tiene lugar:
I = Ic + Ma2 ............. (3)
(Para ver el gráfico
faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
Donde I e Ic son los
momentos de inercia del cuerpo con respecto Z y Zc, respectivamente, y M es la
masa del cuerpo. Para probar esta relación, escojamos los ejes Xc Yc Zc de modo
que su origen se encuentre en el centro de masa C y el eje Yc se encuentre en el
plano determinado por Z y con Yc. El punto P es un punto arbitrario del cuerpo
M. Entonces de la figura: P’A es h a Yc y P’A = x, CA = Y, y OC = a,
tenemos:
R2C = X2
+ Y2
R2 = X2
+ (Y + a)2
= X2 + Y2
+ 2Ya + a2
= R2c + 2Ya + a2
Ahora el momento de inercia
con respecto al eje Z es
I = å mR2 = å m(R2c + Zya + a2)
= å mR2c + 2a (å my) + a2å m
El primer término es
justamente el momento de inercia a I con respecto al eje Zc, y en el último término
å m = M, es la suma total del cuerpo. Por consiguiente.
I = Ic + 2ªå my + Ma2
…………… (4)
Para evaluar el término
central recordamos que la posición del centro de masa está dada por Ycm = å
my/å m.
Pero en nuestro caso Ycm = 0 ya que el centro de masa coincide con el origen C
del sistema XcYcZc.
Luego å my = 0 y la ecuación (4) se reduce a (3) la cual queda demostrada.
Cálculos Y Resultados
Llene la tabla 1 con las siguientes características
|
N0 de Agujero
|
L(m)
|
t
|
T
|
t
|
N0 de Oscilaciones
|
Periodo T
( promedio )
|
|
1
|
0,50
|
16,91
|
16,83
|
16,84
|
10
|
1,686
|
|
2
|
0,45
|
16,58
|
16,43
|
16,46
|
10
|
1,649
|
|
3
|
0,40
|
16,27
|
16,11
|
16,22
|
10
|
1,620
|
|
4
|
0,35
|
15,96
|
15,94
|
15,99
|
10
|
1,596
|
|
5
|
0,30
|
15,77
|
15,88
|
15,85
|
10
|
1,583
|
|
6
|
0,25
|
16,13
|
16,15
|
16,29
|
10
|
1,619
|
|
7
|
0,20
|
16,61
|
16,64
|
16,64
|
10
|
1,661
|
|
8
|
0,15
|
8,77
|
8,80
|
8,63
|
5
|
1,746
|
|
9
|
0,10
|
10,24
|
10,06
|
10,16
|
5
|
2,030
|
|
10
|
0,05
|
13,30
|
13,32
|
13,31
|
5
|
2,660
|
A partir de la ecuación
(1), con Il dada por la ecuación (2), encuentre el valor de l donde
el período es mínimo.
La ecuación (1) es
T
= 2P
Y la ecuación (2) es
Il
= IG + Ml2
Reemplazando 2 en 1, tenemos
que:
T
= 2P
= 2P
Derivando con respecto a la
longitud l, para hallar el mínimo valor de l igualaremos a cero,
Þ
Þ
Donde a es el ancho de la
barra y b el largo de la barra, a = 0.037 y b = 1.1
Entonces al reemplazar
obtendremos que :
¿ Cúal es el período para
esta distancia?
Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre , utilizando la relacio
(I) , el valor Il y llene la siguiente tabla;
|
# de hueco
|
eje de osc. l (cm)
|
(periodo)2 T 2
|
Momento de inercia I
|
l 2 (m) 2
|
|
1
|
0.5
|
2.8426
|
0,6655
|
0,25
|
|
2
|
0.45
|
2.7192
|
0,5729
|
0,2025
|
|
3
|
0.4
|
2.6244
|
0,4915
|
0,16
|
|
4
|
0.35
|
2.5472
|
0,4174
|
0,1225
|
|
5
|
0.3
|
2.5059
|
0,352
|
0,09
|
|
6
|
0.25
|
2.6221
|
0,3068
|
0,0625
|
|
7
|
0.2
|
2.769
|
0,2593
|
0,04
|
|
8
|
0.15
|
3.0485
|
0,2141
|
0,0225
|
|
9
|
0.10
|
4.1209
|
0,163
|
0,01
|
|
10
|
0.05
|
7.0756
|
0,1656
|
0,0025
|
Haga el grafico Il
vs l 2 y ajustar dicha grafica
Del grafico anterior, y por comparación con la ecuación (2), determine IG
y M .
Del gráfico anterior y por un ajuste de curvas obtuvimos que la ecuación
de la gráfica es
Y = 2,0241X + 0,166
Comparando esta ecuación con la ecuación 2 Il = Ml2 + IG
Notamos que el valor de IG = 0,166 y el valor de M es 2,0241.
Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la
formula analítica para una barra de longitud l y ancho b,
¿Qué error experimental
obtuvo? Y ¿qué puede decir acerca de la masa?
Según nuestra grafica obtenida en el paso 5 el valor de IG.
IG =0.166
Según la ecuación dada y con los datos tomados en el laboratorio
para M= 1.886 Kg L= 1.1 m
b=0.037
reemplazando tenemos:
IG =0.19038
Calculando el error de medicion:
%ERROR = 0.19038 – 0.166 *100 = 12.8%
0.19038
La masa según nuestro ajuste de curvas es M=2.0241
La masa obtenida en el laboratorio es M= 1.886
Hay una diferencia de 0.1381 y el porcentaje de error es :
%error = 2.0241-1.886 .100= 6.8227
2.0241
Halle la longitud del péndulo
simple equivalente.
Como Sabemos el período del
péndulo simple es
Pero para el péndulo físico
el período es
Entonces si igualamos estas
dos ecuaciones obtendremos que:
Donde M es la masa de la
barra y es 1,886kg
Reemplazando Il
con los valores obtenidos en la tabla de la pregunta 3, tenemos que:
Para el primer agujero Il
= 0,6655 Þ l = 0,5940
Para el segundo agujero Il = 0,5729 Þ l = 0,5511
Para el tercer agujero Il = 0,4915 Þ l = 0,5104
Para el cuarto agujero Il = 0,.4174 Þ l = 0,4704
Para el quinto agujero Il = 0,3520 Þ l = 0,4320
Para el sexto agujero Il = 0,3068 Þ l = 0,4033
Para el séptimo agujero Il = 0,2593 Þ l = 0,3707
Para el octavo agujero Il = 0,2141 Þ l = 0,3369
Para el noveno agujero Il = 0,1930 Þ l = 0,3198
Para el décimo agujero Il = 0,1656 Þ l = 0,2963
Demuestre en forma analítica las relaciones (1) y (2).
(Para ver el gráfico
faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
relación (1) nos indica que
T = 2P
Cuando el cuerpo se desplaza
como se muestra en la gráfica, el peso mg causa un momento de torsión de
restitución t = - (mg)(dsenq )
El signo negativo implica que el momento de torsión es horario si el
desplazamiento es antihorario y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila
alrededor de su posición de equilibrio, el movimiento no es un M.A.S porque el
momento de torsión t es proporcional a senq , no a q , pero si q es pequeño
podemos aproximar senq por q en radianes, y el movimiento es aproximadamente
M.A.S
t = -(mgd)q
La Ecuación del movimiento
es å t = I.a
-(mgd)q = I.a =
Þ
De la ecuación del M.A.S
Comparando estas dos
ecuaciones notamos que el papel de
en
el M.A.S lo desempeña aquí la cantidad
así
que la frecuencia angular está dada por:
W =
(
Péndulo físico, amplitud pequeña)
Y como f =
l.q.q.d
La relación (2) nos indica
que: Il = IG + Ml2
Para demostrarlo,
consideremos dos ejes paralelos al eje z; uno pasa por el centro de masa, el
otro por un punto P . Primero tomamos una rodaja muy delgada del cuerpo,
paralela al plano xy. Tomamos el origen de nuestro sistema de coordenadas x, y
son (a, b). La distancia entre este eje y el que pasa por el centro de masa es
d, donde d2 = a2 + b2. Podemos escribir una
expresión para el momento de inercia Ip alrededor del eje que pasa
por P. Sea mi un elemento de masa de nuestra rodaja, con coordenadas
(xi, yi, zi). El momento de Inercia ICM
de la rodaja alrededor del eje que pasa por O es
ICM
=
El momento de Inercia de la
rodaja alrededor del eje que pasa por P es
En estas expresiones no
intervienen lasa coordenadas zi, medidas perpendicularmente a las
rodajas, así que podemos extender las sumatorias para incluir todas las partículas
de todas las rodajas. Expandiendo los cuadrados y reagrupando,
La primera sumatoria es ICM
.Por definición de centro de masa la segunda y tercera sumatoria son
proporcionales a xcm, ycm que son 0 porque tomamos el
origen en el centro de masa. El término final es d2 multiplicada por
la masa total o sea, Md2.
Entonces queda demostrado que Ip = Icm + Md2
Trabajo enviado por:
arturo lizana
arturoelbarrunto2000@hotmail.com
Indice
1.
Péndulo Físico
2. Centro de
Oscilación
3. Momento de inercia
y Teorema de STEINER
1. Péndulo Físico
Se denomina Péndulo Físico,
a cualquier péndulo real, o sea, que en contraste con el péndulo simple no
tiene toda la masa concentrada en un punto.
(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar
Trabajo")
Un péndulo físico, de forma de lámina, cuyo centro de masa es C,g tiene un
eje de rotación en P y se separa un ángulo j de su posición de equilibrio.
En la figura, un cuerpo de forma irregular está articulado alrededor de un eje
horizontal sin rozamiento que pasa por P y se desplaza un ángulo j de la posición
de equilibrio. La posición de equilibrio es aquella para la cual el centro de
masa del cuerpo C.G, se encuentra debajo de P y en la vertical que pasa por ese
punto.
La distancia del eje al centro de masa es d,e momento de inercia del cuerpo con
respecto a un eje pasa por el eje de rotación
es I, y la masa del cuerpo es m. El momento restaurador para un desplazamiento
angular j es:
M = -m g d sen j
Y se debe a la componente
tangencial de la fuerza de gravedad. Puesto que M es proporcional a sen j y no a
j , la condición para que el movimiento sea armónico simple, en general, no se
cumple en este caso. Sin embargo, para pequeños desplazamientos angulares, la
relación sen j º j es, como anteriormente, una excelente aproximación, de
manera que para que pequeñas amplitudes,
M = -m g d j
O sea M = -Kj
Siendo K = m g d
Pero M
De manera que
Por consiguiente, el periodo
de un péndulo físico que oscila con pequeña amplitud es:
Para amplitudes mayores, el
péndulo físico sigue teniendo un movimiento armónico, pero no simple.
2. Centro de
Oscilación
Es siempre posible encontrar
un péndulo físico simple equivalente cuyo periodo sea igual al de un péndulo
físico dado. Si lo es la longitud del péndulo simple equivalente.
;
o bien,
Así en lo que concierne al
periodo de oscilación, la masa de un péndulo físico puede considerarse
concentrada en un punto cuya distancia al eje es to = I/m. Este punto se
denomina centro de oscilación del péndulo.
La siguiente figura representa un cuerpo que puede oscilar alrededor de un eje
que pasa por P y cuyo centro de oscilación está en el punto C. El centro de
oscilación y el punto soporte tiene la siguiente propiedad interesante, a
saber; si el péndulo se hace oscilar alrededor de un nuevo eje que pasa por C,
su periodo no varía y el P se convierte en centro de oscilación. El punto
soporte y el centro de oscilación se dice que son conjugados uno de otro.
El centro de oscilación tiene otra propiedad importante, también se observa un
bate de baseball sostenido o pivoteado en el punto O. Si una pelota golpea el
bate en su centro de oscilación, no se ejerce ninguna fuerza de impulso sobre
el pivote y por tanto no se nota ninguna molestia si el bate está contenido con
la mano por dicho punto. Por esta propiedad, al centro de oscilación se le
denomina centro de percusión.
3. Momento de
inercia y Teorema de STEINER
Se sabe que un cuerpo rígido,
está compuesto de un número muy grande de partículas de modo que la suma.
I
= m1R21 + m2R22
+ m3R23 + ......... =
å imiR2i
(Para ver el gráfico
faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
Debe reemplazarse por un
integral I = å imiR2i = ò R2dm,
o sui P es la densidad del cuerpo dm = edv
I = ò PR2dv ............. (1)
Si el cuerpo es homogéneo,
su densidad es constante, y en lugar de (1) podemos escribir I = ò PR2dv.
La integral se reduce así a un factor geométrico, igual para todos los cuerpos
con la misma forma y tamaño. Notamos que en la figura R2 = X2 + Y2,
el momento de inercia con respecto a Z.
IZ = ò P)x2 +
y2=dv ................... (2)
Si el cuerpo es una placa
delgada, como es muestra, notamos que el momento de inercia con respecto al eje
x e y puede escribirse como:
lx = ò Py2dv e
Iy = ò Px2dv
Ya que la coordenada Z es
esencialmente cero.
La comparación con la
ecuación (2) muestra este caso:
Iz = Ix = Iy
Resultado que es válido
solamente para placas delgadas.
Los momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos están relacionados
una fórmula muy simple.
Sea Z un eje arbitrario y Zc un eje paralelo que pasa a través del centro de
masa del cuerpo.
Si "a" es la separación entre los dos ejes, la siguiente relación,
denominada TEOREMA DE STEINER, tiene lugar:
I = Ic + Ma2 ............. (3)
(Para ver el gráfico
faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
Donde I e Ic son los
momentos de inercia del cuerpo con respecto Z y Zc, respectivamente, y M es la
masa del cuerpo. Para probar esta relación, escojamos los ejes Xc Yc Zc de modo
que su origen se encuentre en el centro de masa C y el eje Yc se encuentre en el
plano determinado por Z y con Yc. El punto P es un punto arbitrario del cuerpo
M. Entonces de la figura: P’A es h a Yc y P’A = x, CA = Y, y OC = a,
tenemos:
R2C = X2
+ Y2
R2 = X2
+ (Y + a)2
= X2 + Y2
+ 2Ya + a2
= R2c + 2Ya + a2
Ahora el momento de inercia
con respecto al eje Z es
I = å mR2 = å m(R2c + Zya + a2)
= å mR2c + 2a (å my) + a2å m
El primer término es
justamente el momento de inercia a I con respecto al eje Zc, y en el último término
å m = M, es la suma total del cuerpo. Por consiguiente.
I = Ic + 2ªå my + Ma2
…………… (4)
Para evaluar el término
central recordamos que la posición del centro de masa está dada por Ycm = å
my/å m.
Pero en nuestro caso Ycm = 0 ya que el centro de masa coincide con el origen C
del sistema XcYcZc.
Luego å my = 0 y la ecuación (4) se reduce a (3) la cual queda demostrada.
Cálculos Y Resultados
Llene la tabla 1 con las siguientes características
|
N0 de Agujero
|
L(m)
|
t
|
T
|
t
|
N0 de Oscilaciones
|
Periodo T
( promedio )
|
|
1
|
0,50
|
16,91
|
16,83
|
16,84
|
10
|
1,686
|
|
2
|
0,45
|
16,58
|
16,43
|
16,46
|
10
|
1,649
|
|
3
|
0,40
|
16,27
|
16,11
|
16,22
|
10
|
1,620
|
|
4
|
0,35
|
15,96
|
15,94
|
15,99
|
10
|
1,596
|
|
5
|
0,30
|
15,77
|
15,88
|
15,85
|
10
|
1,583
|
|
6
|
0,25
|
16,13
|
16,15
|
16,29
|
10
|
1,619
|
|
7
|
0,20
|
16,61
|
16,64
|
16,64
|
10
|
1,661
|
|
8
|
0,15
|
8,77
|
8,80
|
8,63
|
5
|
1,746
|
|
9
|
0,10
|
10,24
|
10,06
|
10,16
|
5
|
2,030
|
|
10
|
0,05
|
13,30
|
13,32
|
13,31
|
5
|
2,660
|
A partir de la ecuación
(1), con Il dada por la ecuación (2), encuentre el valor de l donde
el período es mínimo.
La ecuación (1) es
T
= 2P
Y la ecuación (2) es
Il
= IG + Ml2
Reemplazando 2 en 1, tenemos
que:
T
= 2P
= 2P
Derivando con respecto a la
longitud l, para hallar el mínimo valor de l igualaremos a cero,
Þ
Þ
Donde a es el ancho de la
barra y b el largo de la barra, a = 0.037 y b = 1.1
Entonces al reemplazar
obtendremos que :
¿ Cúal es el período para
esta distancia?
Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre , utilizando la relacio
(I) , el valor Il y llene la siguiente tabla;
|
# de hueco
|
eje de osc. l (cm)
|
(periodo)2 T 2
|
Momento de inercia I
|
l 2 (m) 2
|
|
1
|
0.5
|
2.8426
|
0,6655
|
0,25
|
|
2
|
0.45
|
2.7192
|
0,5729
|
0,2025
|
|
3
|
0.4
|
2.6244
|
0,4915
|
0,16
|
|
4
|
0.35
|
2.5472
|
0,4174
|
0,1225
|
|
5
|
0.3
|
2.5059
|
0,352
|
0,09
|
|
6
|
0.25
|
2.6221
|
0,3068
|
0,0625
|
|
7
|
0.2
|
2.769
|
0,2593
|
0,04
|
|
8
|
0.15
|
3.0485
|
0,2141
|
0,0225
|
|
9
|
0.10
|
4.1209
|
0,163
|
0,01
|
|
10
|
0.05
|
7.0756
|
0,1656
|
0,0025
|
Haga el grafico Il
vs l 2 y ajustar dicha grafica
Del grafico anterior, y por comparación con la ecuación (2), determine IG
y M .
Del gráfico anterior y por un ajuste de curvas obtuvimos que la ecuación
de la gráfica es
Y = 2,0241X + 0,166
Comparando esta ecuación con la ecuación 2 Il = Ml2 + IG
Notamos que el valor de IG = 0,166 y el valor de M es 2,0241.
Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la
formula analítica para una barra de longitud l y ancho b,
¿Qué error experimental
obtuvo? Y ¿qué puede decir acerca de la masa?
Según nuestra grafica obtenida en el paso 5 el valor de IG.
IG =0.166
Según la ecuación dada y con los datos tomados en el laboratorio
para M= 1.886 Kg L= 1.1 m
b=0.037
reemplazando tenemos:
IG =0.19038
Calculando el error de medicion:
%ERROR = 0.19038 – 0.166 *100 = 12.8%
0.19038
La masa según nuestro ajuste de curvas es M=2.0241
La masa obtenida en el laboratorio es M= 1.886
Hay una diferencia de 0.1381 y el porcentaje de error es :
%error = 2.0241-1.886 .100= 6.8227
2.0241
Halle la longitud del péndulo
simple equivalente.
Como Sabemos el período del
péndulo simple es
Pero para el péndulo físico
el período es
Entonces si igualamos estas
dos ecuaciones obtendremos que:
Donde M es la masa de la
barra y es 1,886kg
Reemplazando Il
con los valores obtenidos en la tabla de la pregunta 3, tenemos que:
Para el primer agujero Il
= 0,6655 Þ l = 0,5940
Para el segundo agujero Il = 0,5729 Þ l = 0,5511
Para el tercer agujero Il = 0,4915 Þ l = 0,5104
Para el cuarto agujero Il = 0,.4174 Þ l = 0,4704
Para el quinto agujero Il = 0,3520 Þ l = 0,4320
Para el sexto agujero Il = 0,3068 Þ l = 0,4033
Para el séptimo agujero Il = 0,2593 Þ l = 0,3707
Para el octavo agujero Il = 0,2141 Þ l = 0,3369
Para el noveno agujero Il = 0,1930 Þ l = 0,3198
Para el décimo agujero Il = 0,1656 Þ l = 0,2963
Demuestre en forma analítica las relaciones (1) y (2).
(Para ver el gráfico
faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
relación (1) nos indica que
T = 2P
Cuando el cuerpo se desplaza
como se muestra en la gráfica, el peso mg causa un momento de torsión de
restitución t = - (mg)(dsenq )
El signo negativo implica que el momento de torsión es horario si el
desplazamiento es antihorario y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila
alrededor de su posición de equilibrio, el movimiento no es un M.A.S porque el
momento de torsión t es proporcional a senq , no a q , pero si q es pequeño
podemos aproximar senq por q en radianes, y el movimiento es aproximadamente
M.A.S
t = -(mgd)q
La Ecuación del movimiento
es å t = I.a
-(mgd)q = I.a =
Þ
De la ecuación del M.A.S
Comparando estas dos
ecuaciones notamos que el papel de
en
el M.A.S lo desempeña aquí la cantidad
así
que la frecuencia angular está dada por:
W =
(
Péndulo físico, amplitud pequeña)
Y como f =
l.q.q.d
La relación (2) nos indica
que: Il = IG + Ml2
Para demostrarlo,
consideremos dos ejes paralelos al eje z;