Ante la necesidad impuesta en muchos trabajos de topografía, de conseguir grandes precisiones en pequeñas redes de control en topografía de obras tanto para el replanteo de grandes estructuras, como para el control de deslizamientos en laderas y taludes, e incluso para el control de deformaciones en obras civiles; se hace necesario generar un método de cálculo, fácil y operativo que, trabajando con el mayor número de datos posible, nos resuelva nuestra pequeña red y optimice los resultados teniendo en cuenta la instrumentación utilizada. El último paso sería la presentación de los errores cometidos en dicha compensación.

Introducción

En el mundo actual de las obras civiles se efectúan un sinfín de trabajos de replanteo y control, y dentro de estas tareas existe una problemática no reconocida en lo que se refiere a grandes estructuras. El problema es simple, cuanto mayor es la magnitud de algo, más difícil es medirlo dentro de una precisión fija. Por ejemplo, si tenemos que construir un puente de hormigón postensado de 20 metros de luz se nos pedirá una precisión a la hora de posicionar cualquiera de sus puntos definitorios o característicos, (por ejemplo 1 cm.). El problema surge cuando esa estructura abandona tales dimensiones, donde es relativamente fácil obtener esa precisión y pasa a otras órdenes superiores de magnitud, donde se agudiza el problema.
Las características de esta problemática son:

· Necesidad de una precisión que no crece de forma paralela a las dimensiones. Nos encontramos con unas medidas que hacen crecer los errores de forma aritmética, mientras que la tolerancia se mantiene fija.

· El uso de coordenadas UTM para el replanteo de estas estructuras suele dar problemas. Es necesaria la creación de sistemas de coordenadas locales. En las obras civiles es costumbre crear sistemas de este tipo de coordenadas para zonas que necesiten una mayor precisión que el resto de la obra, pero estas zonas necesitan de un tratamiento diferencial.
· Tolerancia exigida mayor que la de otros trabajos más convencionales. Cuando se nos exige una precisión que no es acorde con los errores que cabe esperar de los instrumentos o la metodología, que nos obliga a efectuar repeticiones o reiteraciones, con la consiguiente pérdida de tiempo, tanto en cálculo como en trabajo de campo.
· Optimización de los trabajos. Lo que se traduce en una necesidad de más rapidez en los mismos métodos para obtener la misma precisión o mayor, siempre que se pueda.

Para solucionar este problema se opta actualmente por una serie de soluciones, que plantearemos por orden de antigüedad:

· Observación de una red de precisión por triangulación clásica. La principal ventaja de este sistema es la escasa necesidad de distanciometría, lo que facilitaba el trabajo por entonces, ya que, excepto para la medida de la base, no se volvía a necesitar del uso de distancias, y el resto del trabajo se realizaba con teodolitos. También cabe señalar que el cálculo no es muy complicado, ni necesita de mucho tiempo, si bien es tedioso por resultar repetitivo.

· Observación de una red de precisión por triangulación clásica con comprobación lineal. El método anterior fue el más apropiado durante años, hasta que la disposición de la distanciometría fue mayor, lo que provocó que se comenzara a emplear más y que se efectuaran un mayor número de medidas. Este método es similar al anterior, pero con la principal modificación, a tener en cuenta, de que se controla la posición de las dos últimas bases de replanteo mediante medición lineal. La principal ventaja de este sistema sobre el anterior es el mayor control de los errores cometidos, principalmente para paliar el arrastre de errores angulares.

· Observación de una red de precisión con ángulos y distancias (Red Triangulativa-Trilaterativa). Esta última alternativa es la más apropiada, puesto que en la actualidad, la disposición de la distanciometría es muy usual en la obra civil y el método operativo entre esta práctica y la anterior es similar. Este método se basa en la recogida de datos para una triangulación simple con ángulos y distancias, de manera que con uno de los datos se calcula la triangulación y con los otros se controla el resultado. A diferencia de los métodos planteados anteriormente, en los que sólo se podía variar la forma de repartir los errores, aquí se pueden hacer múltiples variaciones en función del tamaño del polígono a considerar. Si bien los principales grados de libertad que tenemos se pueden considerar en base a cuál va a ser la variable de cálculo y cuál la de control. Estos métodos tienen un menor trabajo de cálculo, ya que no tienen que llevar a cabo las difíciles compensaciones de los métodos angulares, además permiten un más fácil autocontrol conforme se avanza en el proceso. Pero es ahí donde radica su mayor problema, en la no existencia de un método de compensación adecuado y en la no compensación conjunta de ángulos y distancias, lo que hace que se llegue a la disyuntiva de sí se debe atender a unos o a otros.

Como síntesis de toda esta metodología, actualmente, para apoyo de un trabajo o para la consecución de grandes precisiones, se necesitan de unas metodologías especiales que, o bien están desfasados en sus premisas (métodos angulares), o bien no tienen un desarrollo matemático compacto, lo que implica una difícil conclusión. Los mayores problemas de estas metodologías son, por una parte, la necesidad de mucho tiempo para llevar a cabo sus cálculos, así como la falta de conclusión (no se establecen errores, y en su caso, son comparaciones o controles, pero no una correcta estimación).

Desarrollo

Nuestra solución es novedosa en cuanto al proceso de cálculo, no tanto al trabajo en campo, que sigue siendo el mismo; se observarían todos los ángulos y distancias posibles (metodología Triangulativa-Trilaterativa), intentando subsanar los inconvenientes reseñados en el cuadro anterior. En cuanto al cálculo, no se basa en una solución por triangulación, sino que lo hace en torno a una figura más compleja: el cuadrilátero. Las ventajas que tiene esto respecto a la triangulación son claras en cuanto a que, por contraste de mediciones lineales y angulares, podemos desechar algunos datos o saber que no son demasiado fiables, mientras que si en un triángulo, uno de los datos tomados es erróneo, se puede saber que lo es, pero no en qué medida, o si es él o su recíproco. Este tipo de duda, muy usual en las triangulaciones, se soluciona con este método, ya que hay caminos indirectos por los que se puede determinar el error (subdivisión en triángulos, cierres angulares, cierres en distancias), y se elimina parte de la problemática de la determinación de la fiabilidad de los datos. En cuanto al trabajo de cálculo, se minimiza utilizando la aplicación informática que hemos generado para tal fin. Básicamente, la forma de cálculo se basa en la aplicación de la Teoría de Mínimos Cuadrados a la geometría de un cuadrilátero, de manera que se compensa y calcula de forma global, o sea, se deja que intervengan todos los datos, sin desechar ninguno, y ellos mismos serán los que se controlen. De esta manera se elimina el problema de la compensación parcial que se daba en el método triangulación-trilateración. La metodología empleada es lo que hace a este sistema especial respecto a las soluciones actualmente empleadas. Su innovación radica en el planteamiento riguroso del problema que nos ocupa.

Para poder trabajar en una zona con una precisión más alta de lo habitual, no sólo se tendrán que vigilar las observaciones realizadas, sino que se tendrá que efectuar un cálculo coherente con esas mediciones. La base de nuestro sistema es la toma de datos para un polígono cuadrilátero, en el que se han determinado todas las magnitudes geométricas factibles de medir; en total 8 ángulos y 12 distancias.

No se incluyen los ángulos completos en los vértices, porque no añaden nueva información a la resolución de la figura y además complicarían en exceso un tratamiento matemático que ya de por sí es bastante complejo.

Para desarrollar la parte matemática referente al método anterior, se ha diseñado un programa informático (CCMC) que resuelve el problema por mínimos cuadrados, como ya se ha comentado, donde a partir de los datos de observación de la red y de la matriz de pesos de las observaciones de dicha red (ángulos y distancias) se plantean las diferentes ecuaciones de observación.

Puesto que el objetivo es que la compensación se realice en bloque, teniendo en cuenta todos los datos recabados (ángulos y distancias), es fundamental que en el sistema de ecuaciones se refleje la incidencia que tiene cada una de las observaciones en el resultado del sistema.
Esto se consigue a través de la matriz de pesos P. Ésta es una matriz diagonal donde se expresa la precisión de cada una de las observaciones realizadas (en función del instrumento y metodología utilizados). De esta manera, cada uno de los elementos de la diagonal vendrá determinado por la expresión:

En el original falta la ecuación

donde es la desviación de cada una de las observaciones.

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, la solución obtenida por mínimos cuadrados será la mejor de todas las posibles.

Aplicaciones

Las posibles aplicaciones de este tipo de compensaciones son múltiples. La primera aplicación directa es en la compensación de redes de apoyo simples para el replanteo y control de grandes estructuras donde las tolerancias establecidas son muy estrictas.

Como ejemplo para estudiar los pasos a seguir en la ejecución del programa y comprobación de datos reales hemos escogido la red que se compensó para el replanteo del viaducto del barranco de San Telmo, en la variante de Almería. Se trata de un viaducto de unos 400 metros de longitud y con altura de pilas superiores a los 70m. Además, su estructura metálica debía ser montada en los estribos para, desde allí ser lanzada en busca de la primera pila, con ayuda de unos enormes gatos hidráulicos. Estas magnitudes y el innovador sistema de ejecución precisaban de grandes precisiones en el establecimiento de la red de apoyo.

Con toda la información recabada, ya podemos usar el programa de Compensación de Cuadriláteros por Mínimos Cuadrados (CCMC). La primera pantalla que aparece es el menú principal. Debemos de comenzar por identificar nuestro trabajo.

A continuación, debemos de introducir todas las observaciones efectuadas. Para no alargar en demasía esta comunicación, vamos a obviar el paso de introducción de los pesos de las observaciones, considerando que todas son homogéneas, y por tanto, la matriz de pesos es la matriz identidad 1. El programa pide los nombres de los vértices que conforman el cuadrilátero y a continuación los valores observados de las seis distancias (12 en realidad, 6 directas y 6 recíprocas), y los ocho ángulos. Como entre las estrategias existentes para conseguir mayores precisiones se encuentra la de repetición de medidas, el programa permite la introducción de hasta 100 medidas reiterativas, cogiendo para el cálculo el valor medio de todas ellas. Una vez que están introducidos todos los datos pasamos al apartado número 3, Compensación rigurosa. La primera operación que realiza el programa es una poligonal que le asigna coordenadas aproximadas a todos los vértices del cuadrilátero. Este paso es necesario porque las incógnitas de nuestro sistema serán los diferenciales en coordenadas (x,y) de los puntos de la figura. Resuelto el sistema, el resultado serán las coordenadas compensadas de los mencionados puntos, pero referidas a un sistema de referencia arbitrario (coordenadas 1000,1000 para la esquina inferior izquierda de la figura y acimut 100g para la alineación 1-2). Y también podemos observar los valores compensados de las medidas que habíamos tomado en campo.

Siguiendo la secuencia de operaciones del programa, el próximo paso es la referenciación de estas coordenadas al sistema que nosotros elijamos. Para ello es necesario introducir los valores de las coordenadas reales del punto 1 y su acimut hacia el punto 2. Se trata de aplicar una simple traslación y giro en dos dimensiones.
Los resultados se almacenan en un fichero con formato ASCII y que contiene la siguiente información: *** DATOS FINALES ***

Coord. de BR 100-D:
X=45060.720000000000000
Y=76480.219000000000000

Coord. de BR 500-D:
X=45411.821409990307200
Y=76471.387794487642700

Coord. de BR 500-1:
X=45331.283639911495500
Y=76695.985869180026200

Coord. De BR 100-1:
X=45056.475976774035800
Y=76529.052479522801600

Otras aplicaciones

También se puede aplicar este programa a problemas más complejos como una cadena de polígonos. Aquí es donde verdaderamente se aprecia la conveniencia de compensar cada cuadrilátero de la forma más exacta posible, para intentar minimizar el efecto de encadenamientos de errores. El ejemplo que hemos recogido fue facilitado por el profesor de la E.P.S. de Jaén, D. Jesús García Morant. Estos datos provienen de las prácticas realizadas por una de las promociones del tercer curso de I.T. Topográfica de la E.P. de Mérida. La red desarrollada se utilizó de apoyo para el levantamiento taquimétrico de una canalización romana de trasvase de aguas desde el embalse de Proserpina a la antigua ciudad romana de Emérita Augusta. También sirvió de apoyo al descubrimiento de un túnel de canalización excavado en granito en la época romana.

Se destaca de esta comprobación los valores semejantes entre ambos trabajos, aunque los cierres de los polígonos con el programa CCMC son más precisos, y por consiguiente, los errores encadenados son menores.

También se ha comprobado la viabilidad de utilización en la comprobación de los frentes de excavación de túneles.

A modo de comprobación, señalamos las coordenadas obtenidas por los topógrafos de aquella obra:

Conclusión

Como conclusión podremos destacar que este sencillo método logra compensar en bloque diferentes tipos de observaciones, atendiendo a su precisión, para ajustar pequeñas redes inmersas en otras de orden superior que por su concreción en la ubicación necesitan tratamiento diferente tanto por el entorno en el que se desarrollan, como en sus precisiones finales a obtener, como en la metodología y en la necesidad de controles posteriores.
Hemos comprobado el buen comportamiento del programa para compensaciones, no sólo de un cuadrilátero, sino también de una cadena de polígonos.
Es de justicia apuntar que un inconveniente podría ser la abundancia de datos que es necesario tomar para procesarlos con CCMC. Al respecto tenemos que decir que se han hecho pruebas con cuadriláteros incompletos y hemos comprobado que el programa funciona correctamente, aunque el nivel de exactitud no es el óptimo. Por otro lado, con la instrumentación que se maneja hoy día en obra civil, la obtención de todos los datos de la figura no supone un gran esfuerzo adicional al que habría que realizar para el cálculo por otros métodos.