1. Problema 1.

Sea A un año perteneciente al siglo k. Hállese k en función de A.

Solución:
Suponiendo condiciones ideales, el primer siglo de nuestra era transcurrió desde el año 1 hasta el año 100, el segundo, desde el 101 hasta el 200 y así sucesivamente. Por tanto,
el siglo k va desde el año 100k-99 hasta el año 100k. Por la afirmación anterior tenemos las relaciones siguientes:
100k-99 <= A <= 100k
100k-100 <= A-1 <= 100k-1
k-1 <= (A-1)/100 <= k-1/100
[k-1] <= [(A-1)/100] <= [k-1/100] (por ser creciente la función parte entera)
k-1 <= [(A-1)/100] <= k-1, lo cual implica que
k-1 = [(A-1)/100]
k = [(A-1)/100] + 1

2. Problema 2.
Hallar todas las posiciones en que las manecillas de un reloj que funciona correctamente, forman un ángulo α, dado en minutos (El minuto de que estamos hablando equivale a 6º, una de las 60 partes en que se divide la esfera del reloj. En este artículo usaremos la palabra minuto referida a amplitud o a tiempo según la situación lo requiera.), medido del horario al minutero en el sentido del movimiento de las manecillas, tal que 0<= α < 60.

Solución:
Todos los recorridos de las manecillas serán dados en minutos de 6º. Llamaremos hr al horario y mt al minutero.

Lema 1
En un mismo intervalo de tiempo, mientras el hr recorre una amplitud x, el mt recorre una amplitud 12x.

Demostración:
Sabemos que las manecillas se mueven a velocidades uniformes iguales a 5min/h y 60min/h correspondientes al hr y al mt respectivamente, por lo cual podemos plantear:

,

donde y son las amplitudes recorridas por el hr y el mt en el tiempo t y y son sus respectivas velocidades. Por tanto,

.

Lema 2
Las manecillas coinciden exactamente una vez entre las horas k y (k mod 12)+1, donde

Demostración:
Sea I el arco que va desde la hora k hasta la hora (k mod 12)+1. Mientras el hr se mueve en I, el mt da una vuelta completa, por lo que se tienen que encontrar en algún punto de I. Demostremos ahora que este punto es único.

Sea p1 el primer punto donde las manecillas se encuentran en I. Supongamos que existe otro punto del mismo intervalo, al cual denotamos por p2, tal que las manecillas vuelven a coincidir en él. Después de coincidir en p1, el mt debe dar una vuelta completa para llegar a p1, pero como mientras lo hacía el hr también se estaba moviendo, no podrán coincidir otra vez en p1, sino un poco más adelante, por lo que desde que se encuentran en p1 hasta que se encuentran en p2 el mt recorre una amplitud de 12x minutos, donde 12x > 60.
Por el Lema 1, en este mismo tiempo, el hr recorrió x min, donde x > 5 por la última desigualdad, lo cual es absurdo porque I tiene una amplitud de 5 min.

Lema 3
En la primera mitad del día, incluyendo las 12:00PM y excluyendo las 12:00M, las manecillas coinciden exactamente 11 veces.

Demostración:
Por el Lema 2, a cada intervalo que va desde la hora k hasta la (k mod 12)+1, , le corresponde un punto de coincidencia. Como la única hora en punto en que coinciden es a las 12, solamente hay un punto de coincidencia perteneciente a dos intervalos I.
Luego, la cantidad de intervalos I disminuída en 1 es la cantidad de puntos en que el hr y el mt coinciden.
Por lo tanto, hay 11 puntos de coincidencia.

Corolario 3.1
Las manecillas forman un ángulo α en exactamente 11 posiciones distintas, teniιndose que α cumple las condiciones especificadas en las condiciones del problema.

Demostración:
Cada vez que las manecillas coinciden, el mt se sigue moviendo hasta formar el ángulo α con el hr. Después de coincidir, el ángulo entre ellas va aumentando, acercándose a 60, hasta que coinciden otra vez. De acuerdo con esto, existe una correspondencia biunívoca entre las veces que las manecillas coinciden y las veces que forman un ángulo α, por lo que por el Corolario 2.1 podemos afirmar que las manecillas forman un ángulo α en exactamente 11 posiciones.

Lema 4
Sean a R, b R*. Entonces a mod b = a – b[a/b].

Demostración:
Efectuando la división con resto de a por b nos queda:
a = bq + r
a/b = q + r/b [a/b] = q r = a mod b = a – b[a/b].

Estrictamente hablando, la información que brinda el mt es redundante. Recordemos que en los relojes despertadores una manecilla basta para establecer la hora a la que sonará la alarma.
La hora está unívocamente determinada por la distancia x que ha recorrido el hr a partir del minuto cero (o a las 12 horas). Por el Lema 1 el mt habrá recorrido 12x min y su posición será el minuto 12x mod 60 (se obtiene restándole a lo que ha recorrido el número de vueltas completas que ha realizado0). Por ejemplo, cuando el hr haya llegado al minuto 17,5, el mt habrá recorrido 210 min (3 vueltas y media) y su posición estará en el minuto 30. Una posición inadmisible de las manecillas sería si por ejemplo, el hr estuviera en un minuto múltiplo de 5 y el mt en un minuto distinto del cero.
Tratemos de dar la hora en la forma exp1(x):exp(x), donde exp1 y exp2 indican la hora y los minutos respectivamente en función de x, siendo esta última la distancia recorrida por el hr a partir del número 12.

Veamos cómo deducir exp1:
Para 0 <= x < 5, la hora es 12
" 5 <= x < 10, " " " 1

" 55 <= x < 60 " " " 11.

Luego, para obtener la hora en función de x casi basta poner [x/5], solo que para 0 <= x < 5 se tiene que [x/5]=0 y lo que necesitamos es un 12, lo cual se logra escribiendo finalmente exp1(x) = 12(1 - sg[x/5]) - [x/5].

Por el Lema1, la amplitud recorrida por el minutero es 12x y la posición de este será 12x mod 60, por lo cual exp2(x) = 12x mod 60

= 12x – 60[12x/60] (por el Lema 4)
= 60(x/5 – [x/5])

Por el momento, la hora nos viene quedando de la forma
12(1 - sg[x/5]) - [x/5] : 60(x/5 – [x/5]) (I).
Notemos que el símbolo ":" aquí es solo un separador.
Ya estamos en condiciones de expresar x en función del ángulo α que forman las manecillas.
Para formar el ángulo α con el hr, el mt debe recorrer lo que recorrió el hr (es decir, x) más un número entero de vueltas (60t) más α. Esta amplitud, como ya dijimos, es también igual a 12x. Esto es en símbolos así:
x + 60t + α = 12x, donde por el Corolario 3.1
x = (α + 60t)/11, (II) (despejando x)
Ponemos 11 valores distintos de t para, de acuerdo con el Corolario 3.1, hallar todas las posiciones en que se obtiene un ángulo α.
Comprobemos ahora que los valores de x son los correctos. Es evidente que para valores distintos de t obtenemos valores distintos de x. Comprobaremos ahora que para se tiene que 0 <= x < 60:
0 <= α < 60, 0 <= t <= 10 0 <= 60t/11 <= 600/11
0 <= α/11 < 60/11
Sumando las dos últimas desigualdades obtenemos:
0 <= (α +60t)/11 < 660/11=60
0 <= x < 60 (por la igualdad (II)).
Finalmente, sustituyendo el valor de x en (I) obtenemos la expresión buscada:
12(1 - sg[(α +60t)/55]) - [(α +60t)/55] : 60((α +60t)/55 – [(α +60t)/55]).

La fórmula anterior es efectiva para resolver problemas tales como ¿a qué hora, entre las 2 y las 3, las manecillas estarán en línea recta? No he podido mediante ella resolver el siguiente problema:

¿A qué horas se pueden intercambiar las manecillas obteniéndose posiciones admisibles de estas?
Por último, también podemos decir que la expresión hallada es fácilmente programable.

3. Bibliografía

• Mario 0. González, J. D. Mancill. Álgebra elemental moderna, volumen I, tercera edición. La Habana, Editora Pedagógica, 1967.
• Yákov Perelman. Álgebra recreativa. Editorial Mir. Moscú.

Categoría: Matemática
Resumen
En el trabajo se plantean y resuelven dos problemas: el primero consiste en expresar el siglo al que pertenece un año de una forma distinta a la usual. El segundo se trata de dado un ángulo en minutos, encontrar todas las horas en que las manecillas del reloj forman esa amplitud.

Autor:
Irvin Pérez Morales
ipm@mfc.uclv.edu.cu