1.       Coeficientes indeterminados

2.       Series de potencias

3.       Soluciones por medio de series

4.       Tipos de Singularidades

5.       Leyes fundamentales de operación

Coeficientes indeterminados

Si aplicamos o componemos por un operador la ecuación a ambos lados, llamémoslo operador anulador, de forma que el lado derecho de la ecuación sea cero, nos quedaría

Si comparamos la ecuación anterior con lo que hemos visto de EDO homogéneas, tenemos que

Podemos inferir dos cosas:

La primera que el operador anulador de la función f(t) debe de ser como la parte izquierda de la ecuación diferencial, en pocas palabras, un operador diferencial.

La segunda, es que las funciones que bajo operadores diferenciales se anulan son soluciones de EDO lineales. ¿Cómo son las soluciones de EDO lineales con coeficientes constantes?. Pues son exponenciales, Senos y Cosenos, polinomios y combinaciones de ellas.

Lo anterior nos restringe a tipos específicos en la forma de la función del lado derecho de la ecuación. Aunque también nos da la pauta como encontrar al operador anulador.

Propiedades del operador anulador.

1. El operador anulador es un operador lineal. Como todo operador anulador es un operador diferencial y todo operador diferencial es lineal. Por tanto, todo operador anulador es un operador lineal.

2. El operador anulador de una suma de funciones es la composición de los operadores anuladores.

3. La composición de operadores diferenciales opera como si se estuvieran multiplicando polinomios en D.

Una vez que tenemos el operador anulador se aplica a ambos lados de la EDO y queda una EDO lineal homogénea, pero de orden mayor.

Los coeficientes de la parte homogénea se determinan con base en las condiciones iniciales, los coeficientes de la parte particular se deben encontrar sustituyendo directamente en la ecuación original para determinarlos. (De ahí el nombre de método de coeficientes indeterminados).

Resumen coeficientes indeterminados.

 El método de coeficientes indeterminados sólo es aplicable cuando la parte no homogénea de la EDO es una función del tipo:

 Polinomio

 Exponencial

 Seno o Coseno

Combinaciones de ellas.

·          El operador anulador transforma la EDO lineal no homogénea en una EDO homogénea de orden mayor.

·          El método del operador anulador nos sirve para determinar sólo la forma que debe tener la solución particular.

·          Para determinar los coeficientes de la forma en la solución particular se sustituye la solución particular y nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales.

·          Los coeficientes en la solución de la homogénea se determinan con los valores iniciales o con los valores en la frontera.

resolucion por serie

Soluciones por medio de series

Planteamiento

En este capítulo nos aproximaremos a la resolución de ecuaciones de segundo orden lineales y homogéneas con coeficientes variables desde un estudio de series de potencias.

Se intenta atacar el siguiente tipo de ecuaciones: edo2 lineales homogénas con coeficientes variables

A( x) y¢¢+B( x) y¢+C( x) y=0

convenientemente reescribibles como

y¢¢+P( x) y¢+Q( x) y=0                          (4.1)

Se llama función algebraica a cualquier y=y( x) que sea solución de una ecuación del tipo P_n( x) yⁿ+¼+P₁( x) y+P₀( x) = 0 (los coeficientes son polinomios en x ). El resto de las funciones elementales queda representado por las trigonométricas, hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas (funciones trascendentes, que no son solución de la ecuación planteada). Hay muchas otras funciones trascendentes, pero no se tratan en el Cálculo elemental. Las otras funciones trascendentes proceden de soluciones de ed, y a veces tienen gran interés. En Física Matemática se suele llamar funciones especiales a las soluciones de la edo2 ec.4.1.

El método más accesible en la práctica para calcular estas funciones especiales es trabajar con series de potencias.

Series de potencias

Esta sección debe oficiar de escueto recordatorio de los resultados principales relativos al las series de potencias.

Una serie de potencias es una expresión del tipo

donde los a_n son números reales. La serie se dice ``centrada en el punto x₀ ''. Como basta un cambio de variable es habitual estudiarlas centradas en el cero

Una serie se dice convergente si existe (es un número finito)

La convergencia de las series de funciones es fácil de determinar si las funciones que se suman son potencias. Si uno se pregunta para qué x es convergente una serie como ésta

tiene la ayuda de que si converge en un punto, digamos R , converge en todos los anteriores, porque el valor de la serie es menor. Es decir, que la serie converge en un intervalo definido por

[ x₀-R,x₀+R]

Para saber si, para un x dado, la serie de números converge, se puede aplicar el criterio del cociente

si el límite es <1 hay convergencia, si es >1 hay divergencia (el caso = 1 es más complejo). Para obtener el radio de convergencia, transformamos la expresión

lo que conduce a que

Ejemplo

(radio de convergencia). La serie

Converge en [-1,1] , como queda justificado por el límite

Analiticidad

Cuando la función f( x) es desarrollable en serie de potencias convergente y sus valores coinciden con los de la serie, es decir, hay un entorno de x₀ donde los valores coinciden, se dice que la función es analítica en x₀ . Es decir, cuando

Con

 lo es si g( x₀) ¹ 0

la función compuesta de dos funciones analíticas es analítica: si g es analítica en x0 y f lo es en g( x0) , entonces f( g( x) ) es analítica en x0 .

la función suma de una serie de potencias es analítica en todos los puntos de su intervalo de convergencia.

Sabemos que si la hay, la serie que representa a una función analítica, es única, porque podemos calcular sus coeficientes como

entonces, insistimos, si es posible hacerlo, el desarrollo en serie de TAYLOR será

Métodos de solución

El objetivo de esta sección es sustituir en la ed la expresión de la solución de modo que al final quede un polinomio igualado a cero. Para esto necesitamos calcular las derivadas de la solución en forma de serie

(lo que hemos hecho es un cambio de índice mudo

estas operaciones no son más que cambios de nombre del índice. Este sube-baja tiene interés porque podemos escribir todo en función de xⁿ y así anular los coeficientes. El método consiste en que si reduzco en k el índice bajo el sumatorio, debo aumentarlo en k dentro del sumatorio.

Ejemplo

(muy sencillo)

la serie propuesta como solución

cumple con la ecuación si le exigimos a los coeficientes que

el término general es

la solución general de esa ecuación es la exponencial y sus mútiplos (era una edo1, por lo que queda una constante por determinar). Otro ejemplo sencillo es

Estos ejemplos son fáciles porque las leyes de recurrencia son simples (un término sólo depende de otro anterior) y de paso 1 (depende del anterior).

Ejemplo

esta ecuación no es lineal.

es el término general, y

que no converge en ninguna parte

(sólo en el punto trivial, que es el centro de la serie).

Ejemplo

(2º orden con coeficientes constantes, ya conocemos la solución)

el resultado es una recurrencia simple de paso dos, de modo que los términos de índice par y los de índice impar van separados. Quedan dos constantes por determinar, a₀ y a₁ .

las condiciones iniciales se introducen como

Debo examinar por separado la cadena de los números pares y la de los números impares. La serie par resulta ser la del coseno, y la impar, la del seno.

Ejemplo

 ² (para no relacionar ingenuamente orden de la ecuación y tamaño del paso en la recurrencia

es la ecuación de AIRY y es de paso 3.

 Tipos de Singularidades

La solución de la ecuación homogénea de segundo orden

A(x)y’’ + B(x)y’ + C(x)y = 0                                  (1)

Cerca del punto singular. Recuerde que las funciones A, B y C son polinomios que no tienen factores comunes de modo de los puntos singulares de la ecuación  (1) son simplemente aquellos en que A(x) se anula. Por ejemplo, x = 0 es el único punto singular de la ecuación de Bessel de orden n,

x²y’’ + xy’ + (x² – n²)y = 0

En tanto que la ecuación de Legendre de orden n

(1 – X²)y’’ – 2xy’ + n(n + 1)y = 0,

Tiene los dos puntos singulares  x = -1 y x = 1. De ello resulta que algunas de las características de la soluciones de ecuaciones muy importantes para las aplicaciones son determinadas en gran medida por su comportamiento cerca de los puntos singulares.

Restringiremos nuestra atención al caso en el que x = 0 es un punto singular de la ecuación (1). Una ecuación diferencial que tenga como punto singular de x = a se transforma fácilmente mediante la sustitución t = x –a en una que tenga el punto singular correspondiente en 0. Por ejemplo, sustituyamos t = x -1 en la ecuación de Legendre anterior. Dado que

y 1 – x² = 1 – (t + 1)² = -2t – t², obtenemos la ecuación

Esta nueva ecuación tiene el punto singular t = 0 correspondiente a x=1 de la ecuación original; tiene también el punto singular t = -2 correspondiente a x = -1.

Una ecuación diferencial que tenga un punto singular en 0 por lo regular no tiene soluciones en serie de potencia de la forma y = ∑C_nxⁿ, así que el método directo de la sección falla en este caso. Para ver la forma que podría tomar la solución de una ecuación analítica y rescribámosla como

Y’’ + P(x) + Q(x)y = 0                                                     (2)

Donde P =B/A y Q = C/A. Recuerde que x = 0 es un punto ordinario (en vez de un punto singular) de la ecuación (2) si las funciones P(x) y Q(x) son analíticas para x = 0; es decir, si P(x) y Q(x) tienen desarrollos en series de potencias de x convergentes en algún intervalo abierto que contenga x = 0. Ahora se puede desmostar que casa una de las funciones P(x) y Q(x) es o bien analítica en x = 0 o bien tiene a ¥ cuando x ® 0. En consecuencia x = 0 es un punto singular de la ecuación (2) con tal de que P(x) o Q(x) (o ambas) se aproximen a ¥ cuando x ® 0. Por ejemplo, si rescribimos la ecuación de Bessel anterior en la forma

vemos que tanto P(x) = 1/x como Q(x) = 1 – (n/x)² tienden a infinito cuando x ® 0.

Veremos que el método de series de potencias puede generalizarse para aplicarlo cerca del punto singular x = 0 de la ecuación (2) siempre que P(x) tienda al infinito menos rápido que 1/x y Q(x) menos rápido que 1/x² cuando x ® 0. Esto es una manera de decir que P(x) y Q(x) tienen solamente singularidades débiles en x = 0 . Para establecerlo con más precisión, escribamos la ecuación (2) en la forma

                                             (3)

donde

                          p(x) = xP(x)      y          q(x) = x²Q(x)                 (4)

Definición de Punto Singular Regular

El punto singular x =0 de la ecuación (23) es un punto singular regular si las punciones P(x) y q(x) son ambas analíticas en x = 0. De otro modo, es un punto singular irregular.

En particular, el punto singular x = 0 es un punto singular regular si tanto p(x) como q(x) son polinomio. Por ejemplo, veamos que x = 0 es un punto singular regular de la ecuación de Bessel de orden n, al escribir la ecuación en la forma

y observando que p(x) = 1  y q(x) = x² – n² son polinomio en x.

Por el contrario, considere la ecuación

2x³y’ + (1 + x)y’ + 3xy = 0,

que tiene el punto singular x = 0. Si escribimos la ecuación en la forma (3) obtenemos

puesto que

a medida que x ® 0 (aunque q(x) = 3/2 es un polinomio), vemos que x = 0 es un punto singular irregular. No analizaremos la solución de ecuaciones diferenciales cerca de puntos singulares irregulares; esto es un asunto mas avanzado que la resolución de ecuaciones diferenciales cerca de puntos singulares regulares.

Ejemplo1 considere la ecuación diferencia

X²(1 + x)y’’ + (4 – x²)y’ + (2 + 3x)y =0

En la forma canónica y’’ + Py’ + Qy = 0 esto es

debido a que

                        y                     

Ambos tienden a ¥ a medida que x ® 0, vemos que x = 0 es un punto singular. Para determinar la naturaleza de este punto singular escribimos la ecuación diferencial en la de la ecuación (3):

Así