1. El Plano Real

Sistemas de coordenadas cartesianas en el plano real
El Conjunto R de los números reales puede ser representado mediante una recta real:

Para ello se ha establecido una función biyectiva entre el conjunto de los números reales R y una Recta L, de manera tal que:

1. A cada número real le corresponde un punto en la Recta
2. A cada punto de la Recta L, le corresponde un número real

El conjunto RxR, de todos los pares ordenados (x, y) de números reales, se puede representar mediante un Plano Cartesiano o Plano Real.
El Sistema de Coordenadas Cartesianas o Sistema de Ejes Cartesianos es una configuración geométrica formada por dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en el punto 0.

Sistema de Coordenadas Cartesianas
Al eje horizontal 0x se le conoce como Eje de las Abscisas, mientras que al eje vertical 0y se le denomina Eje de las Ordenadas. Es común también referirse a esos ejes como "Eje de las x" y "Eje de las y". Al punto 0 se le llama origen del Sistema de Coordenadas. Los puntos de las flechas en la Figura 1.1. indican las direcciones de incremento sobre los ejes "x" y "y". Es decir, x aumenta de valor hacia la derecha, mientras y aumenta de valor hacia arriba. Al plano, formado por Eje de Abscisas y ordenadas se le conoce como Plano Real, ya que contiene todos los elementos del conjunto R de los números reales.
El eje de las abscisas en el Sistema de Coordenadas Cartesianas es semejante a la Recta Real. A la derecha del origen se representan los números positivos mientras que a la izquierda del origen se representan los números negativos. De manera similar, los puntos que están por arriba del origen sobre el eje de las ordenadas representan los números positivos, mientras que los puntos que están por debajo del origen sobre el eje de las ordenadas representan los números negativos.

2. Coordenadas de un punto

Si imaginamos un punto P situado en el Plano definido por el Sistema de Coordenadas de la Figura 1.2. ¿Cómo podemos establecer con precisión la ubicación de P en el Plano? Una forma es asociar cada punto con un par ordenado (a, b), donde la primera componente, a, está relacionada con el eje x, y se le denomina abscisa del punto, mientras que la segunda componente, b, se relaciona con el eje y, y se le denomina ordenada del punto.
La abscisa y la ordenada corresponden a las coordenadas del punto y pueden tener un valor positivo o negativo.
De lo dicho anteriormente, puede deducirse lo siguiente:

1. A cada punto P del Plano Real, le corresponde un par ordenado.
2. Dado un par ordenado (a, b) en el plano real, existe sólo un punto con esas coordenadas.

Al punto P se le puede representar simbólicamente como P(x, y), donde "x" y "y" son las abscisas y la ordenada de P. Así, por ejemplo, podemos escribir:
P(3, 4) Abscisa = 3 P(-3, 4) Abscisa = -3
Ordenada = 4 Ordenada = 4
P(-3, -4) Abscisa = -3 P(3, -4) Abscisa = 3
Ordenada = -4 Ordenada = - 4

Ejemplo de ubicación de puntos en el Plano.
Determina la ubicación en el Plano Cartesiano de los siguientes puntos:
P₁(3, 2) P₂(-2, -4) P₃(-3, 3) P₄(1, -2)

 Puntos notables en el sistema de coordenadas cartesianas

1. Coordenadas de origen: el punto 0, origen del Sistema de Coordenadas Cartesianas, tiene abscisa cero y ordenada cero y por tanto, puede escribirse como P(0, 0).
2. Coordenadas de un punto situado sobre el eje de las abscisas: cualquier punto situado sobre el eje x tiene como ordenada cero y por tanto puede escribirse como P(x, 0)
3. Coordenadas de un punto situado sobre el eje de las ordenadas: Cualquier punto situado sobre el eje y tiene como abscisa cero y por tanto puede escribirse como P(0, y)

3. Cuadrantes

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamados "Cuadrantes". Tenemos así, el primero (I), segundo (II), tercero (III) y cuarto (IV) cuadrante. Observa que los cuadrantes se definen en sentido contrario a las agujas del reloj.

El eje de las abscisas en el Sistema de Coordenadas Cartesianas es semejante a la recta real ya estudiada por ti. A la derecha del origen se representan los números positivos mientras que a la izquierda del origen se representan los números negativos. De manera similar los puntos que están por arriba del origen el eje de las ordenadas representan los números positivos, mientras que los puntos que están por debajo del origen sobre el eje de las ordenadas representan los números negativos.
(-, +) (+, +)
(-, -) (+, -)

Observa que:

1. En el primer cuadrante (I) están todos los puntos de coordenadas (x, y), tales que:

x > 0 (abscisa positiva)
y > 0 (ordenada positiva

2. En el segundo cuadrante (II) están todos los puntos de coordenadas (x, y) tales que:

x < 0 (abscisa negativa)
x > 0 (ordenada positiva)

3. En el tercer cuadrante (III) están todos los puntos de coordenadas (x, y) tales que:

x < 0 (abscisa negativa)
x < 0 (ordenada negativa)

4. En el cuarto cuadrante (IV) están todos los puntos de las coordenadas (x, y) tales que:

x > 0 (abscisa positiva)
y < 0 (ordenada negativa)

Además;
Todo punto de eje horizontal x tiene ordenada nula. Es de la forma (x, 0)
Todo punto de eje vertical tiene abscisas nula. Es de la forma (0, y).
Los resultados anteriores podemos resumirlos en el siguiente cuadro:

Ejemplo:

1. ¿Cuáles son las coordenadas de un punto que está a 4 unidades a la izquierda del eje "y" y a 3 unidades por encima del eje "x"?

Solución:
La abscisa es – 4 y la ordenada es 3, por lo tanto, las coordenadas del punto son (-4, 3)

2. Dibujar los puntos (1, -5), (3, 4), (-2, 0), (5, -1), (0, -3), (-2, -4) e indicar en qué cuadrante o eje se encuentran.

Solución:
Los puntos se presentan en la figura:
(1, -5) está en el IV Cuadrante
(3, 4) está en el I Cuadrante
(-2, 0) está en el eje x
(5, -1) está en el IV Cuadrante
(0, -3) está en el eje y
(-2, -4) está en el III Cuadrante

3. Representar gráficamente el conjunto:

A = ﹛ (x, y) / y = 3x –4, para x = 0, 1, 2 y 3 ﹜

Solución:
Los pares (x, y) de A podemos encontrarlos así:
Para:
x = 0, y 3 . 0 – 4 = -4
x = 1, y 3 . 1 – 4 = -1
x = 2, y 3 . 2 – 4 = 2
x = 3, y 3 . 3 – 4 = 5

4. Distancia entre dos puntos

Si se conocen las coordenadas de dos puntos P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂) en un plano real entonces es posible hallar la distancia entre ellos.
Sean dos puntos cualesquiera P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂), entonces considerando los tres casos siguientes podemos obtener una fórmula para la distancia d entre P y Q.
Caso 1. Los puntos P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂) están sobre la misma recta horizontal. En este caso, las ordenadas de P y Q son iguales; ésto es, y₁ = y₂ y la distancia entre ellos es:
d = x₂ – x₁
Caso 2. Los puntos P(x₂, y₂) están sobre la misma vertical. En este caso, las abscisas de P y Q son iguales, ésto es,
x₁ = x₂ y la distancia entre ellos es:
d = / y₂ – y₁ /
Tal como se muestra en la figura
Caso 3. Los puntos P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂) están sobre una recta que no es vertical ni horizontal. En este caso, las abscisas son distintas y las ordenadas también; y se obtiene un triángulo rectángulo como se muestra en la figura.
Si llamamos:
d(P, Q) la distancia de P a Q
d(P, R) la distancia de P a R
d(R, Q) la distancia de R a Q
Por el Teorema de Pitágoras tenemos:
[d(P, Q)]² = [d(P, R)]² + [d(R, Q)]²
= / x₂ - x₁ /² + / y₂ - y₁ /²
= (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
y así: d(P, Q) = (x₂ – x₁)² + (y₂ - y₁)² o simplemente
d = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

Llamada fórmula de la distancia en el plano real.
Es interesante observar que la fórmula d = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² también es aplicable en los casos I y II.
Ejemplos:

1. Representar gráficamente los puntos P(-2, 3) y Q(4, 3) y hallar la distancia entre ellos.

Los puntos P(-2, 3) y Q(4, 3) se muestran en la figura.
Observa que los puntos P y Q están en una misma recta horizontal y la distancia entre ellos es la distancia entre las abscisas –2 y 4.
d(P, Q) = /4₂ – x₁ /
= /4 – (-2) /
= 6
También se puede utilizar la fórmula
d = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = (4 – (-2))² + (3 – 3)²
d = 36 = 6

2. Representar gráficamente los puntos P(-2, 5) y Q(-2, -3), y hallar la distancia entre ellos.

Los puntos P(-2, 5) y Q(-2, -3) se muestran en la figura. Observa que los puntos P y Q están en una misma recta vertical, y la distancia entre ellos es la distancia entre las ordenadas 5 y –3.
d(P, Q) = / y₂ - y₁ /
= / - 3 – 5 /
= 8
También se puede utilizar la fórmula:
d = √ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
= √ (-2-(-2))² + (-3-5)²
= √64
= 8

3. Representar gráficamente los puntos P(-2, 2) y Q(2, 5) y hallar la distancia entre ellos:

Los puntos P(-2, 2) y Q(2, 5) se muestran en la figura. La distancia entre ellos la calculamos mediante la fórmula:
d(P, Q) = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
= √ (2 –(-2))² + (5 – 2)²
= √ 4² + 3²
= √ 25
= 5

4. Representa gráficamente los puntos P(-3, 3) y Q(4, -2) y hallar la distancia entre ellos.

Los puntos P(-3, 3) y Q(4, -2) se muestran en la figura. La distancia entre ellos se calcula mediante la fórmula:
d(P, Q) = √(x₂ – x₁)² + (y₂ - y₁)²
= √(4 – (-3))² + (-2 – 3)²
= √7² + (-5)²
= √49 + 25
= √74

5. Demostrar que P(-5, 3), Q(3, 2) y R(-1, -4) son los vértices de un triángulo isósceles:

Representemos gráficamente los tres puntos P, Q, R y el triángulo ∆ PQR que ellos determinan. El ∆PQR es isósceles si dos de sus lados tienen la misma longitud.
Hallemos d(P,Q), d(Q, R), y
d(P, R)
d(P, Q)= √[3-(-5)]² + (2-3)²
= √64 + 1
= √64
d(Q, R) = √(- 1 – 3)² + (- 4 – 2)²
√16 + 36
√52
d(P, R) = √[-1 – (-5)]² + (-4 – 3)²
= √16 + 49
= √65
Comparando los resultados de (1) y (3) vemos que:
d(P, Q) = d(P, R)
Y así, el ∆ es isósceles porque dos de sus lados tienen la misma longitud.

5. Funciones con valores reales

Función: Término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes, para designar una potencia xⁿ de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán Peter Dirichlet. Dirichlet entendió la función como una variable "y", llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente "x", o a varias variables independientes x₁, x₂, x₃....x_x.
Los valores, tanto de la variable dependiente, como de las variables independientes, son números reales o complejos.
La expresión y = f(x), leída "y es función de x" indica la interdependencia entre las variables "x" e "y".
El concepto de función en las matemáticas de nuestros días es: Sean X e Y dos conjuntos con elementos cualesquiera; la variable x representa un elemento del conjunto X, y la variable y representa un elemento del conjunto Y. Los elementos de ambos conjuntos pueden ser o no números, y los elementos de X no tienen que ser necesariamente del mismo tipo de los de Y.
De esta manera:
Si A y B son dos conjuntos, se denomina "función" de A en B a toda relación que asocia a cada elemento de A con un solo elemento de B.
Simbólicamente f: A → B o A → B
Si un elemento X Є A estб relacionada por f con un elemento Y Є B, se dice que y es la imagen de x mediante la funciуn f.
Se escribe f(x) = y Se lee: "la imagen de x es y"
"f de x es igual a y"
"el valor de f en x es y
En toda función, los elementos del dominio y los elementos del rango determinan pares de la forma:
(X, f(x)), donde X Є Dom f y f(x) Є Rg f
Recordemos definición de:

1. Dominio: Son los elementos del conjunto de partida que tienen salida de flecha (Domf)
2. Rango: Son los elementos del conjunto de llegada (son pre imagen de algún elemento del conjunto de partida) [Rgf]

Definición de Función Real
Sea A un conjunto cualquiera y R el conjunto de los números reales. Se denomina función real a toda función cuyo dominio es A y cuyo Rango es un sub-conjunto de R.
Es decir: f: A → R y Rgf Ì R
Si el conjunto A es un subconjunto de R, la función f se determina: Función Real de Variable Real.
Es decir: F: A → R, con A Ì R y Rgf Ì R

Representación Gráfica de un Número Real
El conjunto de todos los puntos (x, f(x)) del plano cartesiano, que corresponden al gráfico de una función f, se llama representación gráfica de f, curva de f o simplemente gráfica de f.
La unión de todos los puntos en el plano determina la representación gráfica de dicha función.
Observación: En lugar de f(x) podemos usar y = f(x) quedando los pares así (x, y).

Ejemplos de Funciones Reales de Variable Real
Es decir funciones cuyos dominios y rangos son conjuntos de números reales.

1. Consideremos la función f: R → R definida por f(x) = 3x → para todo x Є R. Esto significa que la imagen de x se obtiene multiplicando x por 3. determinemos algunos pares de esta funciуn y = f(x) = 3x y grafiquemos

x y = f(x) = 3x
0 y = f(0)= 3.0 = 0
1 y = f(1) = 3.1 = 3
2 y = f(2) = 3.2 = 6
3 y = f(3) = 3.3 = 9
-1 y = f(-1) = 3.(-1)= -3
Domf = R, Rgof = R

2. Consideremos la función f: R → R definida por f(x)= x² – 2x + 1 para todo X Є R. Esto significa que la imagen de X se obtiene elevando x al cuadrado, restбndole el doble de x y sumando 1. Determinemos algunos pares de esta funciуn .

Observación:
Una función no está completamente definida sino se especifica su dominio, sin embargo, al definir funciones con valores reales mediante expresiones algebraicas es usual no mencionar de manera explícita sus dominios y sus rangos. En estos casos si no se da ninguna información adicional, se supone que en el dominio están incluidos todos los números reales que conducen a números reales al sustituirlos en la expresión algebraica.
En los ejemplos presentados hemos hecho la representación gráfica partiendo de la expresión algebraica que define a la Función. Sin embargo, hay representaciones gráficas que se obtienen de datos estadísticos o experimentales, en cuyos casos no se conoce previamente la expresión de la función.
Además, en algunos casos, para que la representación gráfica y la lectura de los datos sea más clara, se usan escalas diferentes en los dos ejes X e Y.
Ejemplos:

1. El movimiento de un vehículo, con velocidad variable durante distintos intervalos de tiempo, se registró en la siguiente tabla:

2. Si una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 19,6m/s, se obtienen los siguientes resultados registrados en la tabla:

3. De acuerdo con el Anuarip Estadístico 1979 – Tomo IX, publicado por la Oficina Central de Estadística e Informática (OCEI), los accidentes de tránsito ocurridos en Venezuela de 1976 a 1979 fueron los siguientes:

Guía De Ejercicios
En los ejercicios que siguen utiliza papel cuadriculado o milimetrado.

1. Dibuja la ubicación en el plano de los siguientes puntos:

P₁(1, 3) P₂(-1, 3) P₃(-2, -3) P₄(3, -2)
P₅(0, 2) P₆(-2, 0) P₇(0, -4) P₈(3, 0)

2. Ubica los siguientes puntos en el plano:

P₁(10, 30) P₂(-5, 10) P₃(50, - 40) P₄(- 20, - 50)

3. Ubica los siguientes puntos en el plano:

P₁(1, € ) P₂(- 2, ¼ ) P₃(- ¼ , 2) P₄(- ½ , - ¼ )

4. Dibuja los triángulos cuyos vértices son:

a) P₁(0, 0) P₂(1, 3) P₃(-2, 1)
b) P₁(1, 0) P₂(-2, 0) P₃(0, -2)

5. Determina las figures que se forman al unir los siguientes puntos:

a) P₁(1, 2) P₂(4, 2) P₃(1, -1) P₄(4, -1)
b) P₁(-1, 1) P₂(3, 1) P₃(3, -2) P₄(-1, -2)
c) P₁(0, 3) P₂(2, 1) P₃(0, -1) P₄(-2, 1)

6. Dibuja las líneas rectas que pasan por los puntos:

a) P₁(2, 1) P₂(0, 3) b) P₁(1, 3) P₂(1, -2)
c) P₁(0, 0) P₂(3, 2) d) P₁(-2, 0) P₂(1, 0)

7. Determina gráficamente el punto de intersección de las rectas que pasan por los puntos:

Recta 1: P₁(0, 3) P₂(3, 0)
Recta 2: P₁(0, 0) P₂(4, 2)

8. Una hormiga se pasea por un plano cartesiano siguiendo trayectorias horizontales y verticales. Si parte del origen y llega a los siguientes puntos:

(0, 3) (5, 3)
(5, -4) (2, -4)
(2, -1) (-1, -1)
(-1, -7) (-3, -7)
(-3, 0) (0, 0)

¿Qué distancia recorrió?

9. Representa en un sistema de coordenadas, a un triángulo cuyas vértices son:

A(0, 0) B(3, 0) C(0, 5)

10. Dibuja un cuadrante cuyos vértices son:

(5, 4) (-5, 4) (-5, -6) (5, -6)

11. ¿Cuáles son las coordenadas de un punto que está 3 unidades a la derecha del eje Y y 5 unidades por encima del eje X?
12. Dibuja los puntos siguientes:

(-2, -5) (4, 5) (-3, 0)
(6, -2) (0, -4) (-3, -5)
e indica en qué cuadrante se encuentra uno.

13. Determina en cada caso si el triángulo, cuyos vértices se dan, es equilátero, isósceles o escaleno.

a) P(2, 4); Q(6,4) y S(6, 8)
b) P(-6, 4); Q(-1, 7) y S(-3, 9)
c) P(-2, 2); Q(2, -6) y S(8, -5)

14. Dibuja los siguientes pares de puntos y halla la distancia entre ellos.

a) (6, 8) y (6, 7)
b) (1, 2) y (4, 6)
c) (3, 4) y (9, 11)
d) (2, -7) y (4, -7)
e) (-2, 3) y (3, -2)
f) (-1, 1) y (3, -2)

15. Halla el dominio y el rango de las siguientes funciones:
1. f(x) = 3x – 2
2. f(x) = 1 .

x – 1
f(x) = Ö x² – 1

3. f(x) = 1 .

(x – 2) (x + 5) (x – 6)

16. En casa una de las funciones anteriores calcula:
1. f(4)
2. f(-3)
3. f(h)
4. f(h + 1)
17. ¿Cuáles números del dominio de las siguientes funciones tienen a 16 por imagen?
1. f(x) = x²
2. f(x) = 2x
3. f(x) = x² + 2

f(x) = Ö x² – 112

18. Representa gráficamente las siguientes funciones, usando una tabla de valores.

f: [0, 1] ® R
definida por: f(x) = x
f: [0, 1] ® R
definida por f(x) = 1
x
f(x) = -2x + 1
f(x) = -2x
f(x) = x² + 1
f(x) = - 4x
f(x) = - 2x²
f(x) = 4x – 2

19. Considera la función:

f(x) = 1 para x < 2
2 para x ³ 2

Si x se aproxima a 2 por la izquierda ¿qué valor toma f(x)?
Si x se aproxima a 2 por la derecha ¿qué valor toma f(x)?

20. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar la función

f(x) = 4x – x²?

Sugerencia:
Haz la representación gráfica.

6. Bibliografía

JÚPITER FIGUERA, Yibiris. Matemática 9. Educación Básica.

• SALAZAR, Jorge A. (1995). Matemática 9^no Grado de Educación Básica. Segunda Edición.
• MÓDULO UPEL. Matemática II

Autores:

Argüelles, Lesly (C.I. 12.705.411)
Canelón, Salvador (C.I. 7.321.506)
Mendoza, Jenny (C.I. 13.436.058)
Pernalete, Providencia (C.I. 5.932.016)
Uribe, Xiomara (C.I. 7.319.454)
Valderrama, Liliana (C.I. 4.628.038)
Elizabeth Barboza
barbozaelizabeth@hotmail.com