1. Presentación
2. Acerca de la invalidez de la formula conocida para calcular areas de los poligonos regulares:
3. Formula correcta para calcular areas de poligonos regulares.
4. Dilema de las infinitas constantes para el calculo de las areas de los poligonos regulares.
5. Enfoque para el calculo de areas de polígonos.
6. Haz de rectas paralelas
7. Formula general para el area del polígono.
8. Areas de los polígonos más conocidos:
9. Formula universal para el area del polígono de cuatro lados:
10. Conclusiones:  
11. Bibliografía:

PRESENTACIÓN

Lo que se desarrolla en las páginas siguientes forma parte de un estudio más amplio sobre Geometría, iniciado con la finalidad de mejorar sustancialmente la enseñanza del cálculo de áreas de polígonos, en  Educación Básica.

El estudio se inició con la intención de estructurar un procedimiento didáctico que permita la deducción de las fórmulas particulares para calcular las áreas de los polígonos, utilizando el Método Deductivo en su sentido estricto; es decir: de lo general a lo particular; en contraposición a lo que  habitualmente se hace: de lo particular a lo particular.

Durante la investigación se evidenció que tal procedimiento era imposible debido a que la Geometría actual no contempla una fórmula general para el cálculo de áreas de los polígonos; lo que motivó la necesidad de resolver previamente la carencia citada, como problema atinente sólo a la  Matemática, para volver más tarde al problema de la Didáctica.

En ese sentido, se estructuró una teoría basada en aspectos aceptados en la Geometría actual, concluyendo con el diseño de la fórmula general antes citada; que, como se verá más adelante, permite a deducción directa de las fórmulas conocidas para triángulos y polígonos de cuatro lados; igualmente permite deducir directamente otras fórmulas no usuales para el último tipo de polígonos.

Al momento de deducir la fórmula particular para el cálculo de áreas de los polígonos regulares, se concluyó que era preferible utilizar el procedimiento indirecto de triangulación (división del n-polígono regular en n triángulos isósceles con vértice común en el centro del n-polígono), por cuanto en forma directa es sumamente difícil (o no es posible) llegar a la fórmula conocida: A=p ap/2.

No obstante, al tratar de deducir la fórmula desde la general para los polígonos, se constató que el procedimiento conocido falla debido a omisiones que se cometen durante el proceso, al no tomar en cuenta todas las características que deben cumplir los triángulos isósceles que se trazan desde el centro del polígono hacia cada uno de sus lados.

En vista de que la deducción de la fórmula para el cálculo de las áreas de los polígonos regulares, a partir de la general para el cálculo del área de cualquier polígono, debe concluir con la fórmula correcta, el desarrollo de lo que presento comienza por demostrar la invalidez de la fórmula usual y la deducción de la correcta.

PARTE I.

ACERCA DE LA INVALIDEZ DE LA FORMULA CONOCIDA PARA CALCULAR AREAS DE LOS POLIGONOS REGULARES:

A= pap/2

(PERÍMETRO POR APOTEMA SOBRE DOS)

Para demostrar la invalidez de la fórmula partiremos del procedimiento habitual, utilizado por el docente, para la enseñanza de la fórmula A=pap/2; que se aplica, comúnmente, a partir del pentágono, dejando a un lado el triángulo equilátero y el cuadrado que, como figuras regulares, deben cumplir con la mencionada fórmula.

El procedimiento consta de los siguientes pasos:

1.       Dividir el polígono en tantos triángulos isósceles iguales, con vértices comunes con el centro de la figura, como lados tenga el polígono.

2.       Realizar una analogía entre las alturas de los triángulos con la apotema (ap) del polígono.

3.       Calcular el área de uno de éstos triángulos, tomando como base el lado del polígono.

4.       Multiplicar el área por el número de triángulos.

5.       Operar convenientemente y concluir: A=pap/2, donde p es el perímetro del polígono y ap la apotema.

6.       Realizar ejercicios (se dice de que polígono regular se trata -siempre a partir del pentágono-, se da una longitud cualquiera para el lado, otra cualquiera para la apotema y se aplica la fórmula conocida. Se repite tantas veces como sea necesario).

De acuerdo al último paso,  podemos calcular el área de un hexágono regular cuyas longitudes de la base y de la apotema son 2u y  u, respectivamente. Aplicando la fórmula, procedemos a nuestros cálculos y concluimos que el área del hexágono dado es 6 u².

Ahora bien, si construimos seis triángulos isósceles (de base 2u y altura u)  y seguidamente tratamos armar un hexágono regular con esos triángulos, veremos que es imposible. NO PODREMOS ARMAR HEXAGONO REGULAR ALGUNO.

Una manera sencilla de visualizar lo que ocurre, en general, es la siguiente:

Suponemos un hexágono regular de apotema ap y lado l, como el de la izquierda, donde se han destacado los triángulos equiláteros que lo componen y cuyas dimensiones son: l de base  y ap de altura.

Si construimos triángulos de base l y altura ap/2, por supuesto que no serán equiláteros y con seis de ellos no se armará hexágono alguno. A lo sumo se obtendrá una figura como la que se muestra a la derecha.

Luego, algo falla. Esta falla consiste en que - al igual que el triángulo equilátero y el cuadrado- en cualquier polígono regular: la apotema depende del lado ó el lado de la apotema, por lo que sus magnitudes, entre sí, no son independientes sino dependientes. De allí se desprende que no es correcto dar cualquier par de magnitudes para el lado y la apotema del polígono regular; cuestión que está permitida por la fórmula al presentar estas dos variables como independientes.

 Entonces, podemos concluir que la fórmula conocida para calcular el área de los polígonos regulares, tal como está: no es válida; porque incluye en su expresión el producto de dos variables interdependientes que son tratadas como independientes.

Al enunciar la citada fórmula se ha obviado una condición importante que cumplen los triángulos isósceles cuyas bases son los lados de un polígono regular y sus alturas la apotema: sus ángulos son fijos en cada figura. Por supuesto, al mantener la base constante y variar la altura (apotema) variamos los ángulos; igual sucede si mantenemos constante la altura y variamos la base, como puede observarse en la siguiente ilustración:

          Base constante y altura variable                          Altura constante y base variable

En un polígono regular de n-lados, denominaremos ángulo al centro, a cada ángulo con vértice en el centro del polígono, de los n triángulos isósceles que pueden formarse a partir de los lados de la figura. Está claro,  que los ángulos al centro son todos iguales.

La apotema, por su parte, por ser la altura de cada triángulo isósceles, es perpendicular a cada lado del polígono regular. La recta que la contiene es mediatriz del lado.

Podemos obtener un polígono regular de cualquier número de lados, a partir de tres,  para cualquier lado dado, o para cualquier apotema dada; pero no es posible obtener un polígono regular para cualquier ángulo al centro dado. Para una mejor comprensión trabajaremos con ángulos medidos en el sistema sexagesimal; observemos la tabla en la siguiente página:

Como puede observarse, no existen polígonos regulares cuyos ángulos al centro a sean tales que  90° < a < 120° o 72° < a < 90°, por ejemplo.

En general:  si a y b son los ángulos al centro de dos polígonos regulares de n y n+1 lados, respectivamente, no existirá ningún polígono regular que tenga como ángulo al centro (a + b)/2. Esto nos dice que existe  una ilimitada cantidad de ángulos para los que es imposible trazar un polígono regular, siendo estos ángulos al centro.

De lo anterior podemos concluir que no todo triángulo isósceles puede formar parte de un polígono regular. De los obtusángulos, sólo el que posee un ángulo interno de 120° puede formar tal tipo de polígono; con tres de ellos, iguales,  se formará un triángulo equilátero y no podrá formarse ningún otro polígono regular con vértice común a todos los ángulos de 120°; no es posible obtener otro polígono regular  aún incrementando el número de triángulos. Los triángulos iso-rectángulos sólo formarán cuadrados y se necesitarán cuatro iguales para armar la figura. Entre los acutángulos encontramos los equiláteros, que solamente formarán hexágonos regulares, tomados en grupos de seis iguales; del resto de los acutángulos,  formarán polígonos regulares aquellos donde la razón entre 360° y el ángulo diferente sea un número entero, el polígono regular que formarán necesitará tantos triángulos iguales, y tendrá tantos lados, como lo indique la razon citada.

De allí que también se pueda asegurar que se comete un error cuando se establece una analogía simple entre la apotema de la figura y las alturas de los triángulos, al momento de deducir la fórmula del área del polígono regular; dado que, de esta manera, se hace referencia a cualquier triángulo isósceles y no al conjunto de triángulos isósceles con los que se pueden formar polígonos regulares, error que puede observarse en la figura que sirve de base para la analogía:

Utilizando funciones trigonométricas podemos establecer las relaciones existentes entre la altura del triángulo isósceles y la respectiva base, siendo esta última el lado opuesto al ángulo diferente,  salvo el equilátero que no tiene restricciones. De esta manera la analogía entre la apotema del polígono y la altura del triángulo isósceles dejará de ser simple, por cuanto interviene una función trigonométrica referida al ángulo al centro específico para cada polígono regular, en relación a su número de lados. Lo que nos permite utilizar la tangente del semiángulo al centro para calcular la apotema adecuada a partir del lado, o el lado adecuado a partir de la apotema.

Luego: un polígono regular se identifica en forma inequívoca si se dan: el número de lados y la longitud del lado ó el número de lados y la apotema. Con cualquier par de estos datos, se puede dibujar y calcular su área, sin equivocación.

Cualquier fórmula válida se caracteriza porque los valores de las variables independientes pueden ser asignados a voluntad del experimentador.  La fórmula A=½(pap)  sólo arroja resultados correctos en el caso de que se den el lado y la apotema que corresponda al polígono del lado dado; por lo  que la fórmula en cuestión no permite asignar, a voluntad, valores al perímetro y a la apotema; lo que nos indica la invalidez de la fórmula.

En defensa de la fórmula criticada se me ha dicho que el error está en quien proporciona los datos,  puesto que no se asegura de que la apotema sea la que corresponda al polígono dado de lado dado, para lo que es suficiente medir con exactitud la dimensión de la apotema.  Esta aseveración carece de  solidez, ya que  supone la existencia del objeto real para realizar las mediciones; por lo que resultaría imposible calcular el área de un dodecágono de un kilómetro de lado, por ejemplo. La Matemática, por no ser una ciencia experimental, no  necesita objetos reales; pudiendo suponer objetos virtuales tan grandes, o tan pequeños, como se quiera y calcular sus dimensiones con base a las relaciones que existen entre sus magnitudes independientes.

En los polígonos regulares, la relación A=pap/2, es una consecuencia de la figura; por lo tanto, no debe tratarse como fórmula (causa) que la origina. En el círculo, por ejemplo, se cumple: A=Lr/2, siendo L la longitud de la circunferencia (perímetro del círculo) y r el radio. Podemos preguntar: ¿ A quién se le ocurriría referirse a un círculo dando una longitud para la circunferencia y cualquier radio?.

Por cuanto la apotema y el lado son interdependientes y los ángulos dependen del número de lados de la figura regular, la fórmula debe contemplar sólo el lado  y el número de lados  ó número de lados y la apotema; pues, como se desprende de lo anterior: si se da el lado de un polígono regular cualquiera, debe calcularse la apotema correspondiente y, si se da la apotema debe calcularse el lado.

Más adelante podremos observar que, aún con objetos reales, si es posible medir con exactitud una de las dos dimensiones correlacionadas, es imposible medir la otra.

PARTE II.

FORMULA CORRECTA PARA CALCULAR AREAS DE POLIGONOS REGULARES.

Como es conocido, la apotema no es más que la altura del triángulo isósceles perteneciente a la partición, de un polígono regular, que contiene el menor número de triángulos isósceles que se pueden trazar en la figura; también sabemos que la altura es la bisectriz del ángulo definido por los dos lados iguales del triángulo isósceles en cuestión, así como mediatriz respecto a la base.

En la figura a la izquierda puede observarse uno de los triángulos isósceles de un polígono regular cualquiera; donde se señala la apotema y la distancia a los vértices de la base. El ángulo en C es el vértice común de tales triángulos; es decir: el centro del polígono regular; por lo que lo denominaremos: ángulo al centro.  

El ángulo BCA es igual a 360°/n (siendo n el número de lados de la figura), por lo que  el ángulo BCM es igual a 180°/n.  Calculamos la tangente del último ángulo en función del lado y de la apotema: tan(180°/n)=l/2ap de donde l=2aptan(180°/n).

Como el lado está expresado en función de la apotema, podemos utilizar el procedimiento indirecto para calcular el área del polígono regular: calculando el área de uno de los triángulos y luego multiplicándola por el número de ellos. Podemos proceder con confianza, por cuanto el lado y la apotema son correspondientes al polígono regular de n-lados.

El área de uno de los triángulos isósceles en cuestión será:

lh/2=2aptan(180°/n) ap/2 =ap² tan(180°/n)

El área de un polígono regular de n-lados será:

A_n= n ap² tan(180°/n) = ap² ntan(180°/n)

Como para cada polígono regular ntan(180°/n) es un número fijo (constante) que depende sólo de n, podemos denotarlo k_n; por lo que nuestra fórmula quedará:

donde k_n es la constante para el polígono regular de n-lados.

Se nota que la fórmula es parecida a la del círculo. En esa figura la apotema se hace igual  al radio ( r) y como:      Lim ntan(180°/n) = p

                                                                                                       ^n®¥

podemos concluir, para el círculo:

                                                           A_¥= k_¥ ap² = pr²

Veamos que podemos calcular el perímetro del polígono regular con la fórmula: p_n = 2 k_n ap, que equivale  a la de la circunferencia 2pr.

Como l = 2aptan(180°/n) se tendrá:

p_n = nl =n(2aptan(180°/n))= 2(n tan(180°/n)) ap=2 k_n ap. Donde queríamos llegar.

Y como: nl = p_n=2 k_n ap se tendrá: l = p_n/n=2 k_n ap/n.

Operando con las fórmulas e igualdades anteriores, podemos deducir las fórmulas a partir del lado:  p_n = nl

 ap_n = nl /2 k_n

  A_n= k_n ap²= k_n(nl /2 k_n)²= n²l²/4 k_n

Con lo que quedan satisfechas las expectativas planteadas.

Ahora contamos con  un conjunto de fórmulas válidas para los polígonos regulares; a saber:

En función de la apotema:

A_n= k_n ap²              p_n=2 k_n ap                 l_n =2 k_n ap/n

En función del lado:

A_n= n²l²/4 k_n            p_n = nl                       ap_n= nl /2 k_n

Despejando convenientemente y sustituyendo,

En función del perímetro:

A_n= p ²/4 k_n                 ap_n= p /2 k_n             l_n= p /n

En función del área:

p_n=2( k_n A)^1/2           ap_n=( A/ k_n )^1/2        l =(2/n) (A k_n)^1/2

Donde n indica el número de lados del polígono regular y k_n es la constante específica que le corresponde.

Obsérvese que de A_n= p ²/4 k_n y de  p_n=2 k_n ap obtenemos:

A_n= p ²/4 k_n= p p /4 k_n = p (2 k_n ap_n) /4 k_n = p ap_n /2

Es posible que se piense en la dificultad de definir la constante k_n, dado que  hemos utilizado una función trigonométrica para hallarla y estos conocimientos no están al alcance de los estudiantes de Educación Básica. A este respecto se puede argumentar que la constante p se introduce, en el ámbito de Educación Básica, sin muchas explicaciones; simplemente se dice que en  toda circunferencia (perímetro del círculo), si dividimos su longitud (perímetro) entre el diámetro (doble del radio), se obtiene un número fijo que denotamos p y cuyo valor es aproximadamente 3,1416.

Llamando L a la longitud de la circunferencia y D al diámetro se tiene:

                           p=L/D=L /2r = p_¥ /2 ap_¥

Si despejamos  k_n en la fórmula p_n=2 k_n ap_n nos resultará: k_n = p_n /2 ap_n, que es análoga a la de la constante p; es más: p es uno de los casos particulares de constantes para los polígonos regulares.

En adelante tendríamos que decir que para cada polígonos regular, si se divide el perímetro entre el duplo de la apotema se obtendrá un  número constante denominado constante de semiproporcionalidad, el cual indica la relación que existe entre la longitud del semiperímetro (mitad del perímetro) y la apotema.

Seguidamente indicamos las constantes k_n  para algunos polígonos regulares, con una apreciación de cuatro decimales:

(*) Considerado como polígono regular de infinitos (?) lados.

Es obvio que una tabla como la anterior sólo sería de utilidad para quienes carezcan de conocimientos de trigonometría, como los cursantes de Educación Básica, ya que se obtendrían mejores aproximaciones aplicando directamente la forma trigonométrica de k_n. Sustituyendo la constante por la función correspondiente, se obtienen las siguientes  fórmulas:

En función de la apotema:

A_n= k_n ap²  = ntan(p/n) ap²

p_n= 2k_n ap = 2 ntan(p/n) ap

                                               l_n = 2k_n ap /n =2 ntan(p/n) ap/n = 2 tan(p/n) ap

En función del lado:

A_n= n²l²/4 k_n = n²l²/4 ntan(p/n) = nl²cot(p/n)/4

p_n = nl 

ap_n= nl /2 k_n =nl /2 ntan(p/n) = lcot(p/n)/2

Despejando convenientemente y sustituyendo,

En función del perímetro:

A_n= p ²/4 k_n =  p ²/4 ntan(p/n) = p ² cot(p/n)/4n

ap_n= p /2 k_n =p /2 ntan(p/n) = p  cot(p/n)/2n 

  l_n  = p /n

En función del área:

p_n  = 2(k_n A)^1/2    = 2(ntan(p/n) A)^1/2  =

     =   (4ntan(p/n) A)^1/2

ap_n=(A/k_n)^1/2 =(A/ntan(p/n))^1/2 =(Acot(p/n)/ n)^1/2

  l_n =(2/n) (A k_n)^1/2 = (2/n) (nA tan(p/n))^1/2 =

     = (4A tan(p/n) /n)^1/2

Donde n indica el número de lados del polígono regular y k_n es la constante específica que le corresponde.

DILEMA DE LAS INFINITAS CONSTANTES PARA EL CALCULO DE LAS AREAS DE LOS POLIGONOS REGULARES.

La fórmula correcta para el cálculo de las áreas de los polígonos regulares nos plantea el siguiente dilema: ¿ Hasta dónde vale la pena tomar en cuenta la constante de semiproporcionalidad en el cálculo de áreas de los polígonos regulares?.

A esto podemos responder: Hasta donde la exactitud del cálculo lo requiera.

Si consideramos las constantes de semiproporcionalidad veremos  la siguiente tabla, con aproximación hasta la millonésima.

Si utilizamos la constante 3,1416 para calcular el área de un círculo, dado su radio,  podemos decir que en realidad se está calculando el área de cualquier polígono regular de 1179 lados o más. O bien el de un polígono regular que tenga entre 311 y 1178 lados, con aproximación por defecto.

La constante de semiproporcionalidad para un polígono regular de ciento veinte lados es aproximadamente: 3,1423105; lo que nos induce a pensar que utilizar el valor aproximado de p (3,1416),  para calcular su área sería contraproducente.

Observemos el polígono regular, en el interior de la imagen, de  120 lados (que ha sido construido con cuarenta triángulos equiláteros) :

Polígono regular de ciento veinte lados ( en el interior de la imagen)

¿Se puede diferenciar, a simple vista, si lo que está en el interior de la imagen es un polígono regular o un círculo?.

Existe la posibilidad de elegir la aproximación más adecuada para sus cálculos. Desde el punto de vista del docente de Educación Básica, consideramos que la tabla dada satisface las necesidades más comunes, siempre que se esté claro que cada polígono regular tiene una constante de semiproporcionalidad propia.

PARTE III

ENFOQUE PARA EL CALCULO DE AREAS DE POLÍGONOS.

El enfoque que se presenta está basado en el conocido procedimiento para el cálculo de las áreas de cualquier polígono, regular o irregular, que consiste dividir la figura en otras menores con fórmula conocida y sumar las áreas de éstos. El procedimiento se ha  simplificado, o complementado, a través de un basamento teórico que permite calcular el área de cualquiera de esas figuras sin intervención aparente de figuras menores. También permite  la deducción directa de las fórmulas conocidas para triángulos y cuadriláteros; permite la deducción de otras, hasta ahora no utilizadas y, en forma indirecta, la de los polígonos regulares.

Sin ahondar mucho en la definición de polígono de n-lados, consideraremos a éstos como la figura de n-lados que cumple con las siguientes condiciones:

1.       Todo lado es un segmento de recta.

2.       Todo lado es consecutivo con otros dos y sólo con dos.

3.       Dos lados consecutivos tienen en común un punto y sólo uno. Tal punto es un extremo de cada lado consecutivo.

4.       Dos lados no consecutivos no tienen puntos comunes.

5.       Dos lados consecutivos no son colineales.

Mediante la triangulación podemos dividir al polígono de n-lados, por lo menos, en n-2 triángulos:

En la ilustración que sigue, se puede observar una forma característica de dividir el polígono irregular en triángulos.

Esta división de la figura en partes menores permite el uso de una única fórmula para calcular el área de cada parte menor, que como sabemos son triángulos o cuadriláteros con dos lados paralelos entre sí.

La fórmula particular para el cálculo de las áreas de los trapecios la cumplen otras figuras. Sólo tenemos que ampliar nuestra definición de trapecio así: trapecio es todo polígono, no mayor de cuatro lados, que tiene dos lados paralelos entre si. En un cuadrilátero, si dos lados son paralelos entonces estos lados son opuestos entre si.

Esta definición trae como consecuencia lo siguiente:

a)       Todos los paralelogramos son trapecios. Dado que sus lados opuestos son paralelos dos a dos, es seguro que tienen dos lados paralelos.

b)       Un triángulo se puede considerar como un trapecio cuyo lado opuesto a la base es de  longitud infinitamente pequeña.

La ilustración muestra que un triángulo se puede obtener, a partir de un trapecio,  reduciendo indefinidamente la longitud de un lado. Resulta obvio que un paralelogramo también se puede obtener de un trapecio, reduciendo o aumentado convenientemente uno de los lados paralelos.

Si llamamos b y b´ a los lados paralelos, tanto de paralelogramos como de triángulos ( uno de los lados paralelos es nulo) y llamando h a la distancia entre dichos lados,  entonces el área se puede calcular mediante la fórmula:

A=  ½ (b+b')h. Que es la fórmula conocida para calcular el área del trapecio.

Si la figura es un paralelogramo se tendrá b = b' y

 A=  ½ (b+b')h =½ (2b)h = bh

Si la figura es un triángulo tal que b <> 0, entonces b'=0 y

A=  ½ (b+b')h =½ (b+0)h = bh/2

Con esta definición amplia, podemos decir que todo polígono puede ser dividido en trapecios trazando rectas paralelas entre sí por cada uno de sus vértices.

Observemos que si tenemos un conjunto de figuras de tres o cuatro lados con la misma altura (h), entonces pueden ser ubicadas entre dos rectas paralelas entre si, como se observa en la ilustración:

Veamos ahora que el cálculo del área total puede ser reducido a unos cuantos pasos sencillos:

Para cada figura denotaremos los lados paralelos entre si con la letra correspondiente en minúscula así: a,a',b,b',c,c', d,d´,e,e',f y f'.

El área total, utilizando nuestra definición ampliada de trapecio, será:

At = A+B+C+D+E+F, luego

At= (a+a')h/2 + (b+b')h/2 + (c+c')h/2 +(d+d')h/2 + (e+e')h/2 + (f+f')h/2 y

At = (a+a'+b+b'+c+c'+d+d'+e+e'+f+f')h/2 o bien

At= (a+b +c +d +e +f +a' +b' +c' +d' +e' +f')h/2

Es decir: sumamos todos los lados que descansan sobre las dos rectas paralelas, multiplicamos por la distancia entre tales rectas y dividimos por dos.

Como podrá observarse todo polígono puede ser dividido en conjuntos de trapecios con altura común. Cada conjunto estará definido por un par de rectas consecutivas y paralelas entre sí, trazadas por cada vértice del polígono dado. Estos trapecios se disponen de tal forma que sus lados paralelos se posen en cada una de estas rectas. ( ver la figura)

Esta particularidad nos llevará a una fórmula general para el cálculo de las áreas de los polígonos. No obstante, es necesaria la base teórica que a continuación pasamos a desarrollar.

HAZ DE RECTAS PARALELAS

Definición

Un conjunto de rectas el plano que pasan por un mismo punto se denomina haz central y el punto común es el centro del haz. Un conjunto de rectas paralelas pertenecientes a un plano se denomina haz paralelo. Un haz paralelo es finito si consta de un número finito de rectas; si k es el número de rectas del haz paralelo se denominará k-haz.

Si definimos un sentido perpendicular al k-haz, en la ilustración anterior indicado con la flecha, tendremos un haz paralelo ordenado. Las rectas se enumeran: r_0, r₁, r₂,....., r_k-1; en forma prelativa y en el sentido dado. Las rectas r₀ y r_k-1  se denominan extremos del k-haz.

La distancia entre dos rectas consecutivas de un haz paralelo se denota:

                                                             d(r_i r_i+1).

Se puede ordenar un haz paralelo infinito, tomando una recta como  r₀  y a partir de ésta, en el sentido seleccionado las enumeraremos consecutivamente : r_0,r_1, r₂, r₃,.....; en el sentido contrario las enumeraremos : r_0, r_-1, r_-2, r_-3,......

Dados dos haces paralelos:  son paralelos, perpendiculares u oblicuos entre sí, si tomado una recta de cada haz, éstas son paralelas, perpendiculares u oblicuas entre sí, respectivamente.

Haz Paralelo Respecto A un Polígono Dado

Todo haz paralelo finito, cuyas rectas  pasen por vértices de un polígono dado se denomina: k-haz del polígono dado. Es evidente que podemos trazar infinitos haces paralelos de una figura; cuando nos refiramos al k-haz de un polígono dado, entenderemos que es cualquiera de los infinitos k-haces paralelos que se pueden trazar.

En la ilustración  podemos observar un octágono y algunos de sus k-haces.

Dada un polígono y un k-haz respecto a él, ordenado, se define como ancho de la figura respecto al haz dado a la distancia entre las paralelas r₀ y r_k-1

El ancho de un polígono respecto a un diagonal dado es el ancho respecto al  k-haz que lo contiene.

Cada recta del k-haz respecto a un polígono dado, interseca a la figura en un conjunto no vacío de puntos interiores distribuidos en uno o más segmentos de recta. Estos segmentos se denominan segmentos interiores del k-haz respecto a la figura dada, o simplemente: segmentos interiores. Todo segmento interior tendrá una longitud mayor o igual a cero; ocurriendo este último caso cuando el segmento interior se reduce a un punto.

En la ilustración pueden observarse los diferentes tipos de segmentos interiores respecto a un polígono 10-lados denominado: estrella de cinco puntas.

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Segmentos Delimitadores En Un Haz Paralelo

 Entre cada par de rectas consecutivas, de un k-haz de polígono dado, existirá un conjunto de puntos interiores de la figura. Este conjunto de puntos puede ser continuo (una sola porción), o puede estar fragmentado en dos o más porciones. Cada una de estas porciones está delimitada por segmentos interiores que las definen en forma unívoca. A estos segmentos interiores los denominaremos: segmentos delimitadores de porciones de puntos interiores respecto a dos rectas consecutivas del haz paralelo del polígono dado; o simplemente, los llamaremos: delimitadores.

La notación: S(r_ir_i+1) indicará el conjunto de delimitadores respecto a las rectas r_i y r_i+1 , igualmente, si no se presta a confusión, indicará la suma de las longitudes de los delimitadores respecto a las rectas indicadas.

Si dos, o más, segmentos interiores consecutivos son delimitadores, su reunión será considerada como un solo segmento delimitador respecto a las rectas dadas y su longitud será la que resulte de medir la distancia entre los extremos más alejados.

Observemos que un segmento interior puede ser delimitador respecto a dos rectas consecutivas y no serlo respecto a otro par de rectas consecutivas, al que también pertenezca.

En el polígono de nueve lados: ABCDEFGHI, , se puede observar:

a)       La recta r₀  define dos segmentos interiores: AB y EE, siendo nula longitud de este último. Ambos segmentos son delimitadores respecto a las rectas consecutivas r₀  y r₁.

b)       La recta r₁ define tres segmentos interiores consecutivos: CD, DF e IC. De ellos CD no es delimitador respecto a las rectas consecutivas r₀  y r₁. Los tres segmentos son delimitadores respecto a las rectas consecutivas r₁ y r₂. Por ser delimitadores consecutivos,  el segmento IF será la reunión de los tres, por lo que IF se considerará como delimitador respecto a las rectas r₁  y r₂.

c)       La recta r₂  define un solo segmento interior GH, el cual es delimitador respecto a las rectas consecutivas r₁ y r₂.

Un delimitador se denomina delimitador propio, si es delimitador respecto a dos pares de rectas consecutivas del k-haz. Es decir: si el segmento MN es un delimitador tal que MN e S(r_ir_i+1), MN será propio si MN e S(r_i-1r_i) o MN e S(r_i+1r_i+2). En otras palabras: un delimitador es propio si lo es a ambos lados de su longitud.

Se denomina ancho de una figura respecto a un delimitador dado al ancho e la figura respecto al k-haz que contiene tal delimitador.

Dada una base de un polígono también dado,  el ancho del polígono respecto  a la base dada es equivalente al ancho de la figura respecto al k-haz que contiene a la base dada. Obsérvese que si una base de una figura está contenida en un k-haz dado, esa base es un delimitador. En algunas ocasiones, el ancho de la figura respecto a la base dada se suele denominar altura.

FORMULA GENERAL PARA EL AREA DEL POLÍGONO.

Para calcular el área de un polígono cualquiera  utilizaremos el procedimiento descrito para calcular el área total de un conjunto de trapecios con altura común; así:

a)       Se traza un haz paralelo respecto al polígono dado y se ordena

b)        Para cada par de rectas consecutivas se aplica el procedimiento descrito:

b.1 Se suman los segmentos delimitadores respecto a ellas. Es decir se calcula S(r_ir_i+1).

b.2. Se mide la distancia entre las rectas, que denotaremos: d(r_ir_i+1).

b.3. Se realiza el producto: S(r_ir_i+1) d(r_i,r_i+1) y se divide por dos (2).

c)       Se suman todos los productos anteriores y  resultado es el área del polígono dado.

El procedimiento señalado nos lleva a una  fórmula para calcular el área de cualquier polígono. Tomando en cuenta que el número 2 es un divisor común de todos los productos, lo anterior puede expresarse así:

Es obvio que, para ahorrar tiempo, debe seleccionarse el haz paralelo que contenga menos rectas. Esto nos permite deducir fórmulas particulares para calcular las áreas de algunos polígonos sencillos, como veremos a continuación.

AREAS DE LOS POLÍGONOS MÁS CONOCIDOS:

Area Del Triángulo:

En el polígono de 3-lados, triángulo,  el haz paralelo con menor número de rectas es el que contiene una de las bases.  Sea el triángulo ABC donde b es la longitud de la base y h la distancia entre las rectas r₀ y r₁.  Obsérvese que h es el ancho del triángulo respecto a la base AB, que comúnmente se denomina altura.

Utilizando la fórmula general:  ( no se escribirán los límites en el símbolo de sumatoria S, por razones de comodidad; pero deberá entenderse que tales límites corresponden a los de la fórmula general)

A=½S S(r₀r₁)d(r₀r₂) = ½(b+0)h= ½bh que es la fórmula conocida.

Area Del Trapecio:                                                               

Consideraremos al trapecio como el polígono de 4-lados, que sólo tiene dos d ellos paralelos; el menor haz paralelo es el que contiene dichos lados. Sea el trapecio ABCD, donde el segmento AB es uno de sus lados paralelos, de longitud b, CD es el segundo lado paralelo, de longitud b' y h la distancia entre r₀ y r₁.           

Utilizando la fórmula general:

A=½S S(r₀r₁)d(r₀r₁) = ½ (b+b') h, que es la fórmula conocida.

Area De Los Paralelogramos:

En todos los casos haremos: d(AB)=b y d(r₀r₁) = h..

Los paralelogramos se caracterizan por tener sus lados paralelos dos a dos. Por estar contenidos entre paralelas, las longitudes de los lados opuestos son iguales; en nuestro caso d(CD)=d(AB)=b. El menor haz paralelo  respecto al paralelogramo es el que contiene dos lados. Tracemos el haz que contiene los lados AB y CD.

Utilizando la fórmula general y tomando en cuenta que d(CD)=d(AB)=b:

A=½S S(r₀r₁)d(r₀r₁) =½(b+b)h=½(2b)h=bh que es la fórmula conocida para calcular áreas de paralelogramos.

En el cuadrado tenemos: b=h: por lo que el área será bb= b² ( o l² si hacemos d(AB)= l)

Areas De Polígonos de 4 Lados Con Diagonales Que Se Corten En Angulo Recto.

Antes deducir la fórmula,  observemos que:

 1.- En todo cuadrilátero, por lo menos, una de sus diagonales está totalmente contenida en el cuadrilátero. Si el cuadrilátero no tuviera diagonales totalmente contenidas en él, su figura sería parecida a la de la ilustración. La cual, aunque es generada por una figura de 4-vértices, no es un  polígono de 4-lados, según la definición:

Los diagonales de la figura a la izquierda son  AC y BD, ambas exteriores.

2.- Los vértices de un cuadrilátero no pertenecientes  a un diagonal propio, se ubicarán uno a cada lado de ésta. De cada lado del diagonal queda un vértice de la figura, luego de cada lado estará una figura de 3-vértices.

3.-  El haz paralelo respecto a una figura de 4-lados, que contiene un diagonal propio, es tal que:

-          Consta de tres rectas.

-          El diagonal propio perteneciente al haz es un delimitador propio.

-          Los delimitadores contenidos en la primera y última recta del haz se reducen a un punto.

Nótese que  ( sólo para el tercer aspecto) como de cada lado del diagonal está situado un solo vértice de la figura, por definición de k-haz respecto a un polígono, r₀ y r₂  sólo contendrán un vértice cada una y no contendrán otros puntos interiores de la figura, por cuanto los vértices en cuestión son los puntos interiores más alejados respecto a cada lado de r₁.

Procedamos a deducir la fórmula:

En cualquier cuadrilátero con diagonales perpendiculares entre sí, podemos trazar un haz paralelo que contenga a un diagonal propio, con lo que el segmento delimitador propio será ese diagonal y  d(r₀r₁)+ d(r₁r₂) = d(r₀r₂) será el otra diagonal. Sea d la longitud del diagonal contenido en el haz paralelo y d' la longitud del diagonal perpendicular al haz.

Usando la fórmula general tenemos:

A=½S S(r_ir_i+1)d(r_ir_i+1)= ½[(0+d)d(r₀r₁) +(d+0)d(r₁r₂)]=

      ½[dd(r₀r₁) +dd(r₁r₂)]= ½d[d(r₀r₁) +d(r₁r₂)]= ½dd(r₀r₂) =½dd'.

Que es la fórmula conocida por todos para. rombos y cuadrados (semiproducto de los diagonales).

Area De Polígonos de 4 Lados Con Lado Opuesto No Paralelo A Una Base Dada. 

                                                                                                             En este caso, se consideran todos los trapezoides, ya que cualquier base que se tome cumplirá la condición. También se incluyen los trapecios, dada una base no paralela a su lado opuesto, como también algunas figuras con diagonales perpendiculares entre sí, que cumplen la condición de no-paralelismo enunciada.

Sea el polígono ABCD con base dada AB tal que su lado opuesto CD no es paralelo a ella. El haz paralelo que contiene la base dada constará de tres rectas, una de las cuales (la intermedia) mantiene su orden fijo cualquiera sea el sentido de ordenación que se tome; esta recta será siempre r₁. A su vez, en r₁ se define  el único delimitador propio del haz paralelo (MC), lo que nos permite referirnos al mismo en forma particular e inequívoca.

Llamaremos: b a la longitud de la base AB; p a la longitud del delimitador propio; r₀ a la recta del haz paralelo que contiene a la base dada; h al ancho (o altura en este caso) de la figura respecto a la base dada y h'  a d(r₀r₁).

Utilizando la fórmula general tenemos:

A=½S S(r_ir_i+1)d(r_ir_i+1)= ½[(b +p)d(r₀r₁)  + (p+0)d(r₁r₂)]=

   =  ½[(bd(r₀r₁) + pd(r₀r₁) +pd(r₁r₂)]=

   = ½{bd(r₀r₁) + p[d(r₀r₁) +d(r₁r₂)]}=    ½(bh' + ph). 

En palabras puede resumirse así "semisuma de los productos de la base por su distancia al delimitador propio y de este último por la altura".

Area Del Polígono Regular.

Es evidente  que nuestra fórmula general, para el cálculo de áreas de figuras de n-lados, es válida para cualquier polígono regular. Ya la hemos aplicado para los triángulos en general, por lo que es válida para el triángulo equilátero, así como para el cuadrado. Si no se ha evidenciado lo que se afirma, solamente pruébese  trazando un k-haz que contenga un lado de  cualquier polígono regular de cinco lados o más y se observará que queda dividido en trapecios, definidos en la forma que se propuso antes y que la fórmula no es más que la suma de las áreas de todos éstos.

Pero, aplicar la fórmula dada resulta más y más engorrosa en la medida en que se aumente el número de lados. Imaginemos nada más la cantidad de rectas que tendría un k-haz respecto a un polígono regular de cien lados (como mínimo: cincuenta tendría el k-haz).

Utilizaremos el procedimiento indirecto habitual de triangulación

También pueden "recortarse" los triángulos y disponerse de tal forma que los lados del polígono se encuentren alineados;  luego se traza un haz paralelo respecto a tales lados.  De esta manera: la distancia entre las rectas del haz paralelo, d(r₀r₁), será la altura común de los triángulos (apotema del polígono) y la suma de los delimitadores, S(r₀r₁), será igual a n veces la longitud del lado del polígono: S(r₀r₁)= nl.

Como se ha demostrado, en un polígono regular de n-lados, la razón entre el semiperímetro y la apotema es un valor constante que hemos denotado k_n. Despejando convenientemente podemos concluir que: nl= 2k_n ap.

Aplicando la fórmula general, y expresando S(r₀r₁)  en función de la apotema,  (S(r₀r₁)= nl= 2k_n ap) tenemos:

A_n=½S S(r_ir_i+1)d(r_ir_i+1)= ½( nlap) = ½ (2k_n ap)  ap donde n es el es el número de lados, l la longitud del lado,  ap la apotema del polígono y k_n  es la constante de semiproporcionalidad correspondiente. Luego:

                                                                                                                      A_n= k_n ap²  

 Con lo que queda deducida la fórmula particular para el cálculo de áreas de polígonos regulares

FORMULA UNIVERSAL PARA EL AREA DEL POLÍGONO DE CUATRO LADOS:

Con los antecedentes anteriores, podemos proceder a la deducción de la fórmula. Sea el  cuadrilátero ABCDE y AC un diagonal propio. Construimos el haz paralelo que contiene a al diagonal propio y aplicamos la fórmula general para el cálculo de las áreas de los polígonos.

Llamamos d al diagonal propio AC y h al ancho de la figura respecto a d.

Usando la fórmula general:

A=½S S(r_ir_i+1)d(r_ir_i+1)  =  ½[(0+d)d(r₀r₁)  + (d+0)d(r₁r₂)]=

     ½ [dd(r₀r₁) + dd(r₁r₂) ] = ½d [d(r₀r₁)  + d(r₁r₂)]= ½dd(r₀r₂),  de

      lo que se concluye A= ½ dh.

Esta fórmula se puede enunciar así:

El área de un  polígono de 4-lados es igual al semiproducto de cualquiera de sus diagonales propios por su ancho respecto al mismo diagonal.

CONCLUSIONES: 

La fórmula general para el cálculo de las áreas de los polígonos, facilita el cálculo y la deducción de las fórmulas particulares de las figuras con características definidas. Como es una herramienta universal fácil de utilizar,  su aprendizaje conllevaría a un menor número de fracasos en las oportunidades en que no se disponga, o se olvide, la particular de un caso definido.

La demostración de la inutilidad de la fórmula  para el cálculo de áreas de los polígonos regulares, comúnmente utilizada, obliga a un esfuerzo inmediato para actualizar los programas, docentes y  textos de matemática; a nivel de Educación Básica y de Media.

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Autor:

Gustavo Yanes
gustavo_yanes@hotmail.com