1. Presentación
2. Acerca de la invalidez de la formula conocida para calcular areas de los poligonos regulares:
3. Formula correcta para calcular areas de poligonos regulares.
4. Dilema de las infinitas constantes para el calculo de las areas de los poligonos regulares.
5. Enfoque para el calculo de areas de polígonos.
6. Haz de rectas paralelas
7. Formula general para el area del polígono.
8. Areas de los polígonos más conocidos:
9. Formula universal para el area del polígono de cuatro lados:
10. Conclusiones:  
11. Bibliografía:

PRESENTACIÓN

Lo que se desarrolla en las páginas siguientes forma parte de un estudio más amplio sobre Geometría, iniciado con la finalidad de mejorar sustancialmente la enseñanza del cálculo de áreas de polígonos, en  Educación Básica.

El estudio se inició con la intención de estructurar un procedimiento didáctico que permita la deducción de las fórmulas particulares para calcular las áreas de los polígonos, utilizando el Método Deductivo en su sentido estricto; es decir: de lo general a lo particular; en contraposición a lo que  habitualmente se hace: de lo particular a lo particular.

Durante la investigación se evidenció que tal procedimiento era imposible debido a que la Geometría actual no contempla una fórmula general para el cálculo de áreas de los polígonos; lo que motivó la necesidad de resolver previamente la carencia citada, como problema atinente sólo a la  Matemática, para volver más tarde al problema de la Didáctica.

En ese sentido, se estructuró una teoría basada en aspectos aceptados en la Geometría actual, concluyendo con el diseño de la fórmula general antes citada; que, como se verá más adelante, permite a deducción directa de las fórmulas conocidas para triángulos y polígonos de cuatro lados; igualmente permite deducir directamente otras fórmulas no usuales para el último tipo de polígonos.

Al momento de deducir la fórmula particular para el cálculo de áreas de los polígonos regulares, se concluyó que era preferible utilizar el procedimiento indirecto de triangulación (división del n-polígono regular en n triángulos isósceles con vértice común en el centro del n-polígono), por cuanto en forma directa es sumamente difícil (o no es posible) llegar a la fórmula conocida: A=p ap/2.

No obstante, al tratar de deducir la fórmula desde la general para los polígonos, se constató que el procedimiento conocido falla debido a omisiones que se cometen durante el proceso, al no tomar en cuenta todas las características que deben cumplir los triángulos isósceles que se trazan desde el centro del polígono hacia cada uno de sus lados.

En vista de que la deducción de la fórmula para el cálculo de las áreas de los polígonos regulares, a partir de la general para el cálculo del área de cualquier polígono, debe concluir con la fórmula correcta, el desarrollo de lo que presento comienza por demostrar la invalidez de la fórmula usual y la deducción de la correcta.

PARTE I.

ACERCA DE LA INVALIDEZ DE LA FORMULA CONOCIDA PARA CALCULAR AREAS DE LOS POLIGONOS REGULARES:

A= pap/2

(PERÍMETRO POR APOTEMA SOBRE DOS)

Para demostrar la invalidez de la fórmula partiremos del procedimiento habitual, utilizado por el docente, para la enseñanza de la fórmula A=pap/2; que se aplica, comúnmente, a partir del pentágono, dejando a un lado el triángulo equilátero y el cuadrado que, como figuras regulares, deben cumplir con la mencionada fórmula.

El procedimiento consta de los siguientes pasos:

1.       Dividir el polígono en tantos triángulos isósceles iguales, con vértices comunes con el centro de la figura, como lados tenga el polígono.

2.       Realizar una analogía entre las alturas de los triángulos con la apotema (ap) del polígono.

3.       Calcular el área de uno de éstos triángulos, tomando como base el lado del polígono.

4.       Multiplicar el área por el número de triángulos.

5.       Operar convenientemente y concluir: A=pap/2, donde p es el perímetro del polígono y ap la apotema.

6.       Realizar ejercicios (se dice de que polígono regular se trata -siempre a partir del pentágono-, se da una longitud cualquiera para el lado, otra cualquiera para la apotema y se aplica la fórmula conocida. Se repite tantas veces como sea necesario).

De acuerdo al último paso,  podemos calcular el área de un hexágono regular cuyas longitudes de la base y de la apotema son 2u y  u, respectivamente. Aplicando la fórmula, procedemos a nuestros cálculos y concluimos que el área del hexágono dado es 6 u².

Ahora bien, si construimos seis triángulos isósceles (de base 2u y altura u)  y seguidamente tratamos armar un hexágono regular con esos triángulos, veremos que es imposible. NO PODREMOS ARMAR HEXAGONO REGULAR ALGUNO.

Una manera sencilla de visualizar lo que ocurre, en general, es la siguiente:

Suponemos un hexágono regular de apotema ap y lado l, como el de la izquierda, donde se han destacado los triángulos equiláteros que lo componen y cuyas dimensiones son: l de base  y ap de altura.

Si construimos triángulos de base l y altura ap/2, por supuesto que no serán equiláteros y con seis de ellos no se armará hexágono alguno. A lo sumo se obtendrá una figura como la que se muestra a la derecha.

Luego, algo falla. Esta falla consiste en que - al igual que el triángulo equilátero y el cuadrado- en cualquier polígono regular: la apotema depende del lado ó el lado de la apotema, por lo que sus magnitudes, entre sí, no son independientes sino dependientes. De allí se desprende que no es correcto dar cualquier par de magnitudes para el lado y la apotema del polígono regular; cuestión que está permitida por la fórmula al presentar estas dos variables como independientes.

 Entonces, podemos concluir que la fórmula conocida para calcular el área de los polígonos regulares, tal como está: no es válida; porque incluye en su expresión el producto de dos variables interdependientes que son tratadas como independientes.

Al enunciar la citada fórmula se ha obviado una condición importante que cumplen los triángulos isósceles cuyas bases son los lados de un polígono regular y sus alturas la apotema: sus ángulos son fijos en cada figura. Por supuesto, al mantener la base constante y variar la altura (apotema) variamos los ángulos; igual sucede si mantenemos constante la altura y variamos la base, como puede observarse en la siguiente ilustración:

          Base constante y altura variable                          Altura constante y base variable

En un polígono regular de n-lados, denominaremos ángulo al centro, a cada ángulo con vértice en el centro del polígono, de los n triángulos isósceles que pueden formarse a partir de los lados de la figura. Está claro,  que los ángulos al centro son todos iguales.

La apotema, por su parte, por ser la altura de cada triángulo isósceles, es perpendicular a cada lado del polígono regular. La recta que la contiene es mediatriz del lado.

Podemos obtener un polígono regular de cualquier número de lados, a partir de tres,  para cualquier lado dado, o para cualquier apotema dada; pero no es posible obtener un polígono regular para cualquier ángulo al centro dado. Para una mejor comprensión trabajaremos con ángulos medidos en el sistema sexagesimal; observemos la tabla en la siguiente página:

Como puede observarse, no existen polígonos regulares cuyos ángulos al centro a sean tales que  90° < a < 120° o 72° < a < 90°, por ejemplo.

En general:  si a y b son los ángulos al centro de dos polígonos regulares de n y n+1 lados, respectivamente, no existirá ningún polígono regular que tenga como ángulo al centro (a + b)/2. Esto nos dice que existe  una ilimitada cantidad de ángulos para los que es imposible trazar un polígono regular, siendo estos ángulos al centro.

De lo anterior podemos concluir que no todo triángulo isósceles puede formar parte de un polígono regular. De los obtusángulos, sólo el que posee un ángulo interno de 120° puede formar tal tipo de polígono; con tres de ellos, iguales,  se formará un triángulo equilátero y no podrá formarse ningún otro polígono regular con vértice común a todos los ángulos de 120°; no es posible obtener otro polígono regular  aún incrementando el número de triángulos. Los triángulos iso-rectángulos sólo formarán cuadrados y se necesitarán cuatro iguales para armar la figura. Entre los acutángulos encontramos los equiláteros, que solamente formarán hexágonos regulares, tomados en grupos de seis iguales; del resto de los acutángulos,  formarán polígonos regulares aquellos donde la razón entre 360° y el ángulo diferente sea un número entero, el polígono regular que formarán necesitará tantos triángulos iguales, y tendrá tantos lados, como lo indique la razon citada.

De allí que también se pueda asegurar que se comete un error cuando se establece una analogía simple entre la apotema de la figura y las alturas de los triángulos, al momento de deducir la fórmula del área del polígono regular; dado que, de esta manera, se hace referencia a cualquier triángulo isósceles y no al conjunto de triángulos isósceles con los que se pueden formar polígonos regulares, error que puede observarse en la figura que sirve de base para la analogía:

Utilizando funciones trigonométricas podemos establecer las relaciones existentes entre la altura del triángulo isósceles y la respectiva base, siendo esta última el lado opuesto al ángulo diferente,  salvo el equilátero que no tiene restricciones. De esta manera la analogía entre la apotema del polígono y la altura del triángulo isósceles dejará de ser simple, por cuanto interviene una función trigonométrica referida al ángulo al centro específico para cada polígono regular, en relación a su número de lados. Lo que nos permite utilizar la tangente del semiángulo al centro para calcular la apotema adecuada a partir del lado, o el lado adecuado a partir de la apotema.

Luego: un polígono regular se identifica en forma inequívoca si se dan: el número de lados y la longitud del lado ó el número de lados y la apotema. Con cualquier par de estos datos, se puede dibujar y calcular su área, sin equivocación.

Cualquier fórmula válida se caracteriza porque los valores de las variables independientes pueden ser asignados a voluntad del experimentador.  La fórmula A=½(pap)  sólo arroja resultados correctos en el caso de que se den el lado y la apotema que corresponda al polígono del lado dado; por lo  que la fórmula en cuestión no permite asignar, a voluntad, valores al perímetro y a la apotema; lo que nos indica la invalidez de la fórmula.

En defensa de la fórmula criticada se me ha dicho que el error está en quien proporciona los datos,  puesto que no se asegura de que la apotema sea la que corresponda al polígono dado de lado dado, para lo que es suficiente medir con exactitud la dimensión de la apotema.  Esta aseveración carece de  solidez, ya que  supone la existencia del objeto real para realizar las mediciones; por lo que resultaría imposible calcular el área de un dodecágono de un kilómetro de lado, por ejemplo. La Matemática, por no ser una ciencia experimental, no  necesita objetos reales; pudiendo suponer objetos virtuales tan grandes, o tan pequeños, como se quiera y calcular sus dimensiones con base a las relaciones que existen entre sus magnitudes independientes.

En los polígonos regulares, la relación A=pap/2, es una consecuencia de la figura; por lo tanto, no debe tratarse como fórmula (causa) que la origina. En el círculo, por ejemplo, se cumple: A=Lr/2, siendo L la longitud de la circunferencia (perímetro del círculo) y r el radio. Podemos preguntar: ¿ A quién se le ocurriría referirse a un círculo dando una longitud para la circunferencia y cualquier radio?.

Por cuanto la apotema y el lado son interdependientes y los ángulos dependen del número de lados de la figura regular, la fórmula debe contemplar sólo el lado  y el número de lados  ó número de lados y la apotema; pues, como se desprende de lo anterior: si se da el lado de un polígono regular cualquiera, debe calcularse la apotema correspondiente y, si se da la apotema debe calcularse el lado.

Más adelante podremos observar que, aún con objetos reales, si es posible medir con exactitud una de las dos dimensiones correlacionadas, es imposible medir la otra.

PARTE II.

FORMULA CORRECTA PARA CALCULAR AREAS DE POLIGONOS REGULARES.

Como es conocido, la apotema no es más que la altura del triángulo isósceles perteneciente a la partición, de un polígono regular, que contiene el menor número de triángulos isósceles que se pueden trazar en la figura; también sabemos que la altura es la bisectriz del ángulo definido por los dos lados iguales del triángulo isósceles en cuestión, así como mediatriz respecto a la base.

En la figura a la izquierda puede observarse uno de los triángulos isósceles de un polígono regular cualquiera; donde se señala la apotema y la distancia a los vértices de la base. El ángulo en C es el vértice común de tales triángulos; es decir: el centro del polígono regular; por lo que lo denominaremos: ángulo al centro.  

El ángulo BCA es igual a 360°/n (siendo n el número de lados de la figura), por lo que  el ángulo BCM es igual a 180°/n.  Calculamos la tangente del último ángulo en función del lado y de la apotema: tan(180°/n)=l/2ap de donde l=2aptan(180°/n).

Como el lado está expresado en función de la apotema, podemos utilizar el procedimiento indirecto para calcular el área del polígono regular: calculando el área de uno de los triángulos y luego multiplicándola por el número de ellos. Podemos proceder con confianza, por cuanto el lado y la apotema son correspondientes al polígono regular de n-lados.

El área de uno de los triángulos isósceles en cuestión será:

lh/2=2aptan(180°/n) ap/2 =ap² tan(180°/n)

El área de un polígono regular de n-lados será:

A_n= n ap² tan(180°/n) = ap² ntan(180°/n)

Como para cada polígono regular ntan(180°/n) es un número fijo (constante) que depende sólo de n, podemos denotarlo k_n; por lo que nuestra fórmula quedará:

donde k_n es la constante para el polígono regular de n-lados.

Se nota que la fórmula es parecida a la del círculo. En esa figura la apotema se hace igual  al radio ( r) y como:      Lim ntan(180°/n) = p

                                                                                                       ^n®¥

podemos concluir, para el círculo:

                                                           A_¥= k_¥ ap² = pr²

Veamos que podemos calcular el perímetro del polígono regular con la fórmula: p_n = 2 k_n ap, que equivale  a la de la circunferencia 2pr.

Como l = 2aptan(180°/n) se tendrá:

p_n = nl =n(2aptan(180°/n))= 2(n tan(180°/n)) ap=2 k_n ap. Donde queríamos llegar.

Y como: nl = p_n=2 k_n ap se tendrá: l = p_n/n=2 k_n ap/n.

Operando con las fórmulas e igualdades anteriores, podemos deducir las fórmulas a partir del lado:  p_n = nl

 ap_n = nl /2 k_n

  A_n= k_n ap²= k_n(nl /2 k_n)²= n²l²/4 k_n

Con lo que quedan satisfechas las expectativas planteadas.

Ahora contamos con  un conjunto de fórmulas válidas para los polígonos regulares; a saber:

En función de la apotema:

A_n= k_n ap²              p_n=2 k_n ap                 l_n =2 k_n ap/n

En función del lado:

A_n= n²l²/4 k_n            p_n = nl                       ap_n= nl /2 k_n

Despejando convenientemente y sustituyendo,

En función del perímetro:

A_n= p ²/4 k_n                 ap_n= p /2 k_n             l_n= p /n

En función del área:

p_n=2( k_n A)^1/2           ap_n=( A/ k_n )^1/2        l =(2/n) (A k_n)^1/2

Donde n indica el número de lados del polígono regular y k_n es la constante específica que le corresponde.

Obsérvese que de A_n= p ²/4 k_n y de  p_n=2 k_n ap obtenemos:

A_n= p ²/4 k_n= p p /4 k_n = p (2 k_n ap_n) /4 k_n = p ap_n /2

Es posible que se piense en la dificultad de definir la constante k_n, dado que  hemos utilizado una función trigonométrica para hallarla y estos conocimientos no están al alcance de los estudiantes de Educación Básica. A este respecto se puede argumentar que la constante p se introduce, en el ámbito de Educación Básica, sin muchas explicaciones; simplemente se dice que en  toda circunferencia (perímetro del círculo), si dividimos su longitud (perímetro) entre el diámetro (doble del radio), se obtiene un número fijo que denotamos p y cuyo valor es aproximadamente 3,1416.

Llamando L a la longitud de la circunferencia y D al diámetro se tiene:

                           p=L/D=L /2r = p_¥ /2 ap_¥

Si despejamos  k_n en la fórmula p_n=2 k_n ap_n nos resultará: k_n = p_n /2 ap_n, que es análoga a la de la constante p; es más: p es uno de los casos particulares de constantes para los polígonos regulares.

En adelante tendríamos que decir que para cada polígonos regular, si se divide el perímetro entre el duplo de la apotema se obtendrá un  número constante denominado constante de semiproporcionalidad, el cual indica la relación que existe entre la longitud del semiperímetro (mitad del perímetro) y la apotema.

Seguidamente indicamos las constantes k_n  para algunos polígonos regulares, con una apreciación de cuatro decimales:

(*) Considerado como polígono regular de infinitos (?) lados.

Es obvio que una tabla como la anterior sólo sería de utilidad para quienes carezcan de conocimientos de trigonometría, como los cursantes de Educación Básica, ya que se obtendrían mejores aproximaciones aplicando directamente la forma trigonométrica de k_n. Sustituyendo la constante por la función correspondiente, se obtienen las siguientes  fórmulas:

En función de la apotema:

A_n= k_n ap²  = ntan(p/n) ap²

p_n= 2k_n ap = 2 ntan(p/n) ap

                                               l_n = 2k_n ap /n =2 ntan(p/n) ap/n = 2 tan(p/n) ap

En función del lado:

A_n= n²l²/4 k_n = n²l²/4 ntan(p/n) = nl²cot(p/n)/4

p_n = nl 

ap_n= nl /2 k_n =nl /2 ntan(p/n) = lcot(p/n)/2

Despejando convenientemente y sustituyendo,

En función del perímetro:

A_n= p ²/4 k_n =  p ²/4 ntan(p/n) = p ² cot(p/n)/4n

ap_n= p /2 k_n =p /2 ntan(p/n) = p  cot(p/n)/2n 

  l_n  = p /n

En función del área:

p_n  = 2(k_n A)^1/2    = 2(ntan(p/n) A)^1/2  =

     =   (4ntan(p/n) A)^1/2

ap_n=(A/k_n)^1/2 =(A/ntan(p/n))^1/2 =(Acot(p/n)/ n)^1/2

  l_n =(2/n) (A k_n)^1/2 = (2/n) (nA tan(p/n))^1/2 =

     = (4A tan(p/n) /n)^1/2

Donde n indica el número de lados del polígono regular y k_n es la constante específica que le corresponde.

DILEMA DE LAS INFINITAS CONSTANTES PARA EL CALCULO DE LAS AREAS DE LOS POLIGONOS REGULARES.

La fórmula correcta para el cálculo de las áreas de los polígonos regulares nos plantea el siguiente dilema: ¿ Hasta dónde vale la pena tomar en cuenta la constante de semiproporcionalidad en el cálculo de áreas de los polígonos regulares?.

A esto podemos responder: Hasta donde la exactitud del cálculo lo requiera.

Si consideramos las constantes de semiproporcionalidad veremos  la siguiente tabla, con aproximación hasta la millonésima.