Índice
Índice
Introducción
Justificación
y Objetivo
Aproximaciones
polinomiales mediante la formula de Taylor
Sucesiones
Series
infinitas de términos positivos
Series
infinitas de términos positivos y negativos
Series
de potencias
Diferenciación
e integración de series de potencias
Series
de Taylor
Serie
de potencias para logaritmos naturales y serie binomial
Conclusiones
Bibliografía
Introducción
El objetivo
primordial de este tema es aproximar funciones mediante series de potencias. Sin
embargo, antes del estudio de las series de potencias se prepara el terreno.
Mientras que los
valores de funciones polinomiales pueden determinarse efectuando un numero
finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las
funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas, no pueden evaluarse
tan fácilmente. En esta sección se mostrara que muchas funciones pueden
aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la función
original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el
valor real de la función y la aproximación polinomial es suficientemente pequeña.
Varios métodos pueden emplearse para aproximar una función dada mediante
polinomios. Uno de los mas ampliamente utilizados hace uso de la formula de
Taylor, llamada así en honor del matemático ingles brook Taylor (1685-1731).
El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del
teorema del valor medio, proporciona la formula de Taylor.
Justificación
Este es el segundo
trabajo del curso de calculo diferencial e integral, en donde el cual
aprenderemos como las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series
infinitas, forman parte importante dentro del calculo diferencial e integral,
tal es así que este trabajo es parte de una evaluación y esta diseñado de tal
manera dirigido a estudiantes del mismo nivel con una redacción sencilla y
explicada del tema mismo.
Objetivo
Uno de los
objetivos primordiales es aprender como funcionan las aproximaciones
polinomiales, sucesiones y series infinitas, ya que es de gran importancia para
poder así calcular las unciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas.
También como mencionaba así darle una visión mas amplia al lector sobre este
tema, llevando un lenguaje no tan extenso y mas centrado en lo practico y lo
necesario para llevarse acabo este tipo de cálculos matemáticos, tanto en el
calculo diferencial e integral, encontramos infinidad de temas que a veces no
nos llaman la atención de practicar, en las aproximaciones polinomiales veremos
lo sencillo que es hacer una aproximación por medo de teoremas.
- Aproximaciones polinomiales mediante la formula de Taylor
Existen infinidad
de métodos para aproximar una función dada mediante polinomios, unos de
los mas importantes que se usan es la fórmula de Taylor.
El teorema
siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del
valor medio, proporciona la fórmula de Taylor.
Teorema
1
Sea ƒ una función tal que ƒ y sus primeras n
derivadas son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Además
, considere que ƒ (x) existe para toda x
del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número z en el intervalo
abierto (a, b). Tal que
(1)
La ecuación (1) también se cumple si b < a; en tal
caso [a, b] se reemplaza por [b, a], y (a, b) se sustituye por (b, a).
Observe que cuando n = 0, (1) se convierte en
Donde z esta entre a y b. esta es la conclusión del
teorema del valor medio.
La demostración del teorema 1 se presentara mas adelante.
Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la fórmula
de Taylor:
(2)
Donde z esta entre a y x.
La condición en la que se cumple (2) es que ƒ y sus
primeras n derivadas sean continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y
x, y la (n + 1 )-esima derivada de ƒ exista en todos los puntos del intervalo
abierto correspondiente. La formula (2) puede escribirse como:
Continua….
(3)
Donde
(4)
Y
Donde
z esta entre a y x
(5)
Pn(x) se denomina polinomio de Taylor de n-ésimo grado
de la función ƒ en el numero a, y Rn(x) se llama residuo. El termino Rn(x),
dado en (5), se denomina forma de lagrange del residuo, llamada así en honor al
matemático francés joseph l. lagrange (1736-1813).
El caso especial de la fórmula de Taylor que se
obtiene al considerar a = 0 en (2) es
Donde z esta entre 0 y x. esta fórmula recibe el
nombre de fórmula de maclaurin, en honor al matemático escocés colin
maclaurin (1698-1746).
Sin embargo, la fórmula fue obtenida por Taylor y por
otro matemático inglés, james stirling (1692-1770). El polinomio de maclaurin
de n-esimo grado para una función ƒ, obtenido a partir de (4) con a = 0, es
(6)
De este modo, una función puede aproximarse por medio
de un polinomio de Taylor en un número a o por un polinomio de maclaurin.
Ejemplos:
Ilustrativo 1
Se calculara el polinomio de maclaurin de n-esimo grado
para la función exponencial natural.
Si ƒ(x) =
,
entonces todas las derivadas de ƒ en x son iguales a
y
las derivadas evaluadas en cero son 1. Por tanto, de (6),
Así, los primeros cuatro polinomios de maclaurion de
la función exponencial natural son
Las figuras 1 a 4 muestran la grafica de ƒ(x) =
junto
con las graficas de P0(x), P1(x), P2(x) y P3(x), respectivamente, trazadas en el
rectángulo de inspección de [-3, 3] por [0, 4].
En la figura 5 se muestran las gráficas de los cuatro
polinomios de maclaurin y la grafica de
ƒ(x) =
en
el mismo sistema coordenado. Observe como los polinomios aproximan
para
valores de x cercarnos a cero, y note que conforme n se incrementa, la
aproximación mejora. Las tablas 1 y 2 proporcionan los valores de
,
Pn(x) (cuando n es igual a 0, 1, 2 y 3) y
-
Pn(x) para x = 0.4 y x = 0.2, respectivamente. Observe que con estos dos valores
de x, a medida que x esta mas cerca de 0, es mejor la aproximación para un Pn(x)
especifico.
|
n
|
e0.4
|
Pn(0.4)
|
e0.4 – Pn(0.4)
|
|
0
|
1.4918
|
1
|
0.4918
|
|
1
|
1.4918
|
1.4
|
0.0918
|
|
2
|
1.4918
|
1.48
|
0.0118
|
|
3
|
1.4918
|
1.4907
|
0.0011
|
|
n
|
e0.2
|
Pn(0.2)
|
e0.2 – Pn(0.2)
|
|
0
|
1.2214
|
1
|
0.2214
|
|
1
|
1.2214
|
1.2
|
0.0214
|
|
2
|
1.2214
|
1.22
|
0.0014
|
|
3
|
1.2214
|
1.2213
|
0.0001
|
De (5), la forma de lagrange del residuo, cuando Pn(x)
es el polinomio de maclaurin de n-esimo grado para la función exponencial
natural, es
Continua..
donde z esta entre 0 y x
(8)
en particular, si P
(x)
se emplea para aproximar
,
entonces
donde
z esta entre 0 y x
y
figuras del 1 al 4 muestran Graficas.
- sucesiones
Una sucesión(o progresión): es una lista de números
en un orden específico.
Por ejemplo:
2, 4, 6, 8, 10
forman una sucesión. Esta sucesión se denomina finita
por que tiene un ultimo numero. Si un conjunto de números que forman una sucesión
no tiene ultimo numero, se dice que la sucesión es infinita. Por ejemplo:
en una sucesión infinita; los tres últimos puntos
indican que no hay último número en la sucesión. Como el cálculo trata con
sucesiones infinitas, la palabra sucesión en este texto significará sucesión
infinita. Se iniciara el estudio de esta sección con la definición de función
sucesión.
Definición de función sucesión
Una función sucesión es una función cuyo dominio es
el conjunto
{ 1, 2, 3, 4, ….., n, ….}
de todos los números enteros positivos.
Los números del contradominio de na función sucesión
se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función
sucesión listados en orden.
Ejemplo:
Sea ƒ la función definida por
n e {1, 2, 3, 4,…}
entonces ƒ es una función sucesión, y
continua..
y así sucesivamente. Los elementos de la sucesión
definida por ƒ son
etcétera: y la sucesión es la (1). Algunos de los
pares ordenados de la función sucesión ƒ son (1,
),
(2,
),
(3,
),
(4,
),
y (5,
).
Por lo general, cuando los elementos se listan en orden
se indica el n-ésimo elemento ƒ(n) de la sucesión. De este modo, los
elementos de la sucesión (1) pueden escribirse como
,….
Puesto que el dominio de cada función sucesión es el
mismo, puede emplearse la notación {
ƒ(n) } para denotar una sucesión. Así, la sucesión (1) puede denotarse por {
n/(2n + 1) }. También se utiliza la notación de subíndice {
}
para expresar una sucesión para la cual
ƒ(n) =
grafica
- series infinitas de términos constantes
una parte importante del estudio del cálculo trata
sobre la representación de funciones como sumas infinitas.
Suponga que la asociada a la sucesión
se tiene una suma infinita denotada por
se forma una nueva sucesión
sumando
sucesivamente elementos de
:
la sucesión
obtenida
de esta manera apartir de la sucesión
es
una sucesión de sumas parciales llamada serie infinita.
Definición de serie infinita
Si
es
una sucesión y
entonces
es
una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por
los números
son
los términos de la serie infinita.
Continua…
Ejemplo:
sea la serie infinita
(a)
obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesión
de sumas parciales
y
(b)
determine una fórmula para
en
términos de n.
solución
(a) como
(c)
como
se
tiene, mediante fracciones parciales.
por tanto,
de esta forma, como
continua…
Al eliminar los paréntesis y reducir
los términos semejantes se obtiene:
si se considera n como 1, 2, 3 y 4 en
esta ecuación, se verá que los resultados anteriores son correctos.
El método empleado en la solución
del ejemplo anterior se aplica sólo un caso especial. En general, no es posible
obtener una expresión de este tipo para s
.
- series infinitas de términos positivos
las series infinitas, cuyos términos son positivos,
tiene propiedades especiales.
En particular, la sucesión de sumas parciales de
dichas series es creciente y tiene una cota inferior 0. si la sucesión es monótona
y acotada. Como el acotamiento y la convergencia de u na sucesión monótona son
propiedades equivalentes, entonces, la series es convergente. De este modo, se
tiene el teorema siguiente.
Teorema
Una serie infinita de términos positivos es
convergente si y sólo si su sucesión de sumas parciales tiene una cota
superior.
En si mismo, este criterio no es muy útil: decidir si
el conjunto es o no acotado es precisamente lo que no sabemos hacer.
Por otra parte, si se dispone de algunas series convergentes para comparación
se peude utilizar este criterio para obtener un resultado cuya sencillez encubre
su importancia (constituye la base para casi todas las demás pruebas).
Ejemplo:
Demuestre que la serie es convergente:
solución:
se debe obtener una cota superior para la sucesión de
sumas parciales de la serie
continua….
ahora se consideran los primeros n términos de la
serie geométrica con a = 1 y r =
:
la serie geométrica con a=1 y r=
tiene
la suma a/(1-r)=2. en consecuencia, la suma de la ecuación anterior es menor
que 2. observe que cada término de la suma primera es menor que o igual al término
correspondiente de la suma siguiente; esto es,
esto es cierto por que k¡ = 1 · 2 · 3 ·….· k,
que , además del factor 1.
Contiene k – 1 factores cada uno mayor que o igual a
2. en consecuencia.
de lo anterior,
tiene
la cota superior 2. por tanto, por el teorema de la serie infinita la serie dada
es convergente.
- series infinitas de términos positivos y negativos
Un tipo de series infinitas que constan de términos
positivos y negativos es el de las series alternantes, cuyos términos son,
alternadamente, positivos y negativos.
Definición de serie alternante
Si
para
todos los números enteros positivos n, entonces la serie
y la serie
se denominan series alternantes.
Ejemplo:
Un ejemplo de serie alternante de la forma de la
primera ecuación , donde el primer termino es positivo, es
una serie alternante de la segunda ecuación, donde el
primer termino es negativo, es
el teorema siguiente, denominado criterio de las series
alternantes, establece que una serie alternante es convergente si los valores
absolutos de sus términos decrecen y el limite del n-ésimo término es cero.
El criterio también se conoce como el criterio de leibniz para series
alternantes debido a que leibniz lo formuló en 1705.
- series de potencias
Son series de la forma S an (x - x0)n
; loss números reales a0, a1, .... , an, ...
son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an
. xn.
Como toda serie S an (x - x0)n
puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0
; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.
Se presentan tres situaciones posibles: series que
convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real
x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto
conduce al siguiente:
teorema:
Si
la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge
en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .
Demostración:
Si
S an .x0n < ¥ , entonces
.
Tomando
x = 1 $ n0 Î N / " n ³ n0 : ô an x0n
- 0ô = ô an x0nô < 1
Luego:
ô
an xnô =
Si
x es tal que ô xô < ô x0ô Þ
Luego
" n ³ n0 : ô an xnô < qn
y la serie S ô an xnô converge por comparación con la
serie geométrica S qn. Por lo tanto S an xn
converge absolutamente.
teorema:
Si una serie de potencias S an xn no converge para x0
entonces tampoco converge para un número x si ô xô > ô x0ô.
Continua….
radio e intervalo de convergencia
Si una serie de potencias S an xn
converge para valores de x / ô xô < R y diverge para ô xô > R, al
valor de R se llama radio de convergencia de la serie y al conjunto -R
< x < R se llama intervalo de convergencia; el intervalo de
convergencia puede o no incluir los extremos.
Veamos como se calcula el radio de convergencia
Consideremos la serie S an xn / S
ô an xnô < ¥ .
Si
existe
,
para cada x es:
Aplicando
el criterio de D¢ Alembert para cada x resulta;
1.ô
xô < 1 Þ S an xn converge y
1.ô
xô > 1 Þ S an xn diverge
Es
decir, para
¹
0 , la serie S an xn converge si ô xô < 1 / l =
R y diverge si ô xô >1/l = R.
Si
l = 0 la serie converge para cualquier valor de x.
En
efecto " x : l . ô xô = 0 < 1; en este caso el radio de convergencia R
= ¥
Si
l = ¥ , el radio de convergencia R = 0, es decir la serie solo converge
para x = 0.
7. diferenciación e integración
de series de potencias
apartir de series de potencias se
pueden obtener otras series de potencias mediante la diferenciación e integración.
Se establecerán los dos teoremas
fundamentales.
Teorema
Si es una serie de
potencias cuyo radio de convergencia es
R > 0, entonces
tambien tiene a R como su radio de convergencia.
Este teorema, cuya demostración se
presenta en el suplemento de esta sección. Establece que la serie, obtenida al
diferenciar cada término de una serie de potencias término a término, tendrá
el mismo radio de convergencia que la serie dada. En el ejemplo ilustrativo
siguiente se verifica el teorema para una serie de potencias particular.
Ejemplo:
Considere la serie de potencias.
el radio de convergencia se determina
aplicando el critero de la razón.
en consecuencia, la serie de
potencias es convergente cuando
;
de modo que su radio de convergencia es R = 1.
Continua….
La serie que se obtiene al
diferenciar término a término la serie anterior es :
si se aplica el criterio de la razón a esta serie de
potencias se tiene
esta serie es convergente cuando
<
1, así, su radio de convergencia es R´ = 1. como R = R´, se ha verificado
este teorema para esta serie.
Teorema
Si el radio de convergencia de la serie de potencias
es R > 0 entonces R tambien es el radio de convergencia de la serie:
Demostración
El resultado deseado se deduce cuando el teorema
primero se aplica a la serie
8. series de taylor
en este tema se mostrará cómo obtener
representaciones en series de potencias de funciones que tienen derivadas de
todos los órdenes, es decir, funciones que son infinitamente diferenciables.
esta serie se denomina serie de Taylor de f en a. el
caso especial , es cuando a = 0, es :
y se llama serie de maclaurin.
ejemplos:
calcule la serie de maclaurin para
.
Solución
Si
para
toda x, por tanto,
para
toda n. así, de la ecuación de maclaurin se tiene la serie de maclaurin:
obtenga la serie te Taylor para sen x en a.
si ƒ(x) = sen x, entonces ƒ`(x) = cos x, ƒ``(x) =
-sen x, ƒ````(x) = -cos x,
(x)
= sen x, y así sucesivamente. De este modo, de la fórmula de Taylor,
la
serie de Taylor requerida se obtiene del teorema serie de Taylor.
9. series de potencias para logaritmos naturales
y serie binominal
se concluye el estudio de series infinitas en esta
sección al considerar y aplicar dos seriers básicas: la serie para calcular
logaritmos naturales y la serie binominal.
A fin de obtener la serie para calcular logaritmos
naturales, primero se determinará una representación en serie de potencias de
ln(1+x).
Ejemplo:
Considere la función ƒ definida por
ƒ(t) =
una representación en serie de potencias para esta
función está dada por la serie la cual es:
si
<
1
al integrar término a término se obtiene
si
<
1
por tanto,
si
<
1
si
<
1
10 preguntas
- ¿Qué son las aproximaciones polinomiales?
- ¿Qué son sucesiones?
- ¿Qué son series?
- ¿Cuáles son las series infinitas de términos constantes?
- ¿Cuáles son las series infinitas de términos positivos?
- ¿Cuáles son las series infinitas de términos positivos y
negativos?
- ¿que son los criterios de convergencia y divergencia de series
infinitas?
- ¿Qué son las series de potencias?
- ¿Qué son las series de Taylor?
- ¿Cuáles son las series de potencias para logaritmos naturales?
10 Respuestas
- son valores de funciones polinomiales que pueden determinarse
efectuando un número finito de adiciones y multiplicaciones, otras
funciones, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y
trigonometricas, no pueden evaluarse tan fácilmente.
Muchas funciones pueden aproximarse
mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede
emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la
función y la aproximación polinomial es suficiente pequeña.
- Una sucesión(o progresión): es una lista de números en un orden
específico.
Por
ejemplo:
2, 4, 6, 8, 10
forman una sucesión
es la suma de una sucesión obtenida a la que se le llama sucesión de sumas
parciales llamada serie infinita.
- es la sucesión de sumas parciales denominada serie infinita.
- son las que tienen propiedades especiales, en particular, la sucesión
de sumas parciales de dichas series es creciente y tiene una cota inferior
0. si la sucesión de sumas parciales también tiene una cota superior,
entonces la sucesión es monótoma y acotada.
- son las que se llaman series alternantes, cuyos términos son,
altamente, positivos y negativos.
- son teoremas para determinar la convergencia y divergencia de una
serie finita de números constantes.
- son las series de términos variables , las cuales pueden
considerarse como una generalización de una función polinomial. Con la
cual se puede calcular valores de función tales como se x, ex, ln x. las
cuales no se pueden evaluar mediante las operaciones aritméticas conocidas
y empleadas para determinar valores de funciones racionales.
- son de las que se obtienen representaciones en series de potencias
de funciones que tienen derivadas de todos los órdenes, es decir, funciones
que son infinitamente diferenciables.
- son series para calcular logaritmos naturales , el cual
primero se determina una representación en serie de potencias.
10 ejercicios 10 soluciones
Ejercicio:
representaciones gráficas (función logarítmica)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Representar gráficamente la función y = log2 x.
Resolución:Name=3; HotwordStyle=BookDefault;
Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de
valores:
x
y
1/8
-3
1/4
-2
1/2
-1
1
0
2
1
4
2
8
3
‚ Representar gráficamente la función y = log1 / 2 x.
Resolución:Name=4; HotwordStyle=BookDefault;
Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de
valores:
x
y
1/8
3
1/4
2
1/2
1
1
0
2
-1
4
-2
8
-3
ƒ Representar en unos mismos ejes de coordenadas las funciones
y = log2 x
y = ln x y=log10 x.
Ejercicio:
resolución de ecuaciones logarítmicas
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Resolver la ecuación 2 log x = 1 + log (x -
0,9).
Resolución:
log x2 = log 10 + log ( x - 0'
9)
log x2 = log [10 (x - 0' 9)] Þ x2 = 10 (x - 0'
9)
x2 = 10x - 9 Þ x2 - 10x
+ 9 = 0
Hay dos soluciones: x = 9 y x = 1
Resolución:
x no puede ser cero pues no existe log
0
La solución x = -4 no es válida puesto que los números
negativos no tienen logaritmo. Por lo tanto, x = 4.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ejercicio:
ecuaciones exponenciales que se resuelven utilizando logaritmos
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Resolver la ecuación 2x = 57.
Resolución:
Tomando logaritmos en ambos miembros, log 2x = log 57
Resolución:
Tomando logaritmos en ambos miembros,
ƒ Resolver 43x = 8x + 6.
Resolución:
· Expresando 4 y 8 como potencias de dos (22)3x = (23)x + 6.
· Esta ecuación puede escribirse como (23x)2 = 23x + 6.
· Haciendo el cambio 23x = y, la ecuación se escribe y2 =
y + 6.
Ahora basta con resolver esta ecuación de segundo grado y deshacer el
cambio de variable para obtener el valor de x.
continua..
Las dos soluciones son y1 = 3; y2 = -2
Para y1 = 3, 23x = 3. Tomando logaritmos en ambos miembros,
Para y2 = -2, 23x = -2. No existe un número x que
verifique esto ya que 23x es siempre positivo.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ejercicio:
resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Resolución:
10 y4 = 105 Þ y4 = 104 Þ y = 10
(El resultado y = -10 no tiene sentido.)
Como x = 10y Þ x = 10·10 = 100
Resolución:
(20 + y) y = 100 Þ 20y + y2 = 100
Sabiendo que log2 8 = 3, calcular log16 8
Resolución:
Sabiendo
que log3 27 = 3, calcular log9 27
Resolución:
Sabiendo
que log 2 = 0,301030 y log 7 = 0,845098, calcular log7 2.
Resolución:
conclusiones
en
este trabajo se llega a la conclusión de que las aproximaciones polinomiales,
sucesiones y series infinitas, son parte importante del calculo, ya que con
ellas se pueden llegar a resultados precisos en cuanto con operaciones
aritmeticas no se pueden llegar, hablando de aproximaciones polinomiales vemos
que son una forma de saber como determinar las funciones logarítmicas,
exponenciales y trigonometricas, ya que algunas veces no pueden evaluarse fácilmente
dentro del contexto de la aritmetica, tanto así que es necesario tener la mente
abierta y receptiva a nuevos conceptos de poder calcular determinado resultado
que buscamos. En las sucesiones vemos que son conceptos vistos anteriormente en
el álgebra, ya que con las sucesiones podemos enlistar un determinado conjunto
de numeros en orden logico, y así poder encontrar el resultado que buscamos, en
las series infinitas vemos que son las sumas parciales de las sucesiones ya que
con la cual tambien son parte esencial en la búsqueda de dicho resultado
parametrito establecido con anterioridad en un orden lógico.
Gracias.
Bibliografía
CÁLCULO INTEGRAL. P. Puig Adams
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Piskunov
CÁLCULO SUPERIOR. Murray R. Spiegel
CÁLCULO. F. Granero Rodríguez.
PROBLEMAS DE CALCULO INTEGRAL. R.A.E.C.
CALCULO
Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Larson
CALCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Stein.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Granville.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Ayres
CALCULO PURCELL E.
CALCULUS LARSON R
CALCULO STEINS
CALCULO THOMAS
CALCULUS SMITH E.
CALCULO ZILL D.
CALCULO BOYLE W.
CALCULO GRANVILLE N
CALCULO
EDWARDS
CALCULO HOFFMANN
www.yahoo.com.mx
Autor
Adolfo Castillo Mercado
adoluis@prodigy.net.mx
