Introducción

Justificación y Objetivo

Aproximaciones polinomiales mediante la formula de Taylor

Sucesiones

Series infinitas de términos positivos

Series infinitas de términos positivos y negativos

Series de potencias

Diferenciación e integración de series de potencias

Series de Taylor

Serie de potencias para logaritmos naturales y serie binomial

Conclusiones

Bibliografía

Introducción

El objetivo primordial de este tema es aproximar funciones mediante series de potencias. Sin embargo, antes del estudio de las series de potencias se prepara el terreno.

Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden determinarse efectuando un numero finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas, no pueden evaluarse tan fácilmente. En esta sección se mostrara que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinomial es suficientemente pequeña.

            Varios métodos pueden emplearse para aproximar una función dada mediante polinomios. Uno de los mas ampliamente utilizados hace uso de la formula de Taylor, llamada así en honor del matemático ingles brook Taylor (1685-1731). El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la formula de Taylor.

Justificación

Este es el segundo trabajo del curso de calculo diferencial e integral, en donde el cual aprenderemos como las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, forman parte importante dentro del calculo diferencial e integral, tal es así que este trabajo es parte de una evaluación y esta diseñado de tal manera dirigido a estudiantes del mismo nivel con una redacción sencilla y explicada del tema mismo.

Objetivo

Uno de los objetivos primordiales es aprender como funcionan las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, ya que es de gran importancia para poder así calcular las unciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas. También como mencionaba así darle una visión mas amplia al lector sobre este tema, llevando un lenguaje no tan extenso y mas centrado en lo practico y lo necesario para llevarse acabo este tipo de cálculos matemáticos, tanto en el calculo diferencial e integral, encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la atención de practicar, en las aproximaciones polinomiales veremos lo sencillo que es hacer una aproximación por medo de teoremas.

1. Aproximaciones polinomiales mediante la formula de Taylor

Existen infinidad de métodos para aproximar una función dada mediante polinomios, unos de  los mas importantes que se usan es la fórmula de Taylor.

El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la fórmula de Taylor.

Teorema 1

Sea ƒ una función tal que ƒ y sus primeras n derivadas son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Además

 , considere que ƒ  (x) existe para toda x del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número z en el intervalo abierto (a, b).  Tal que

           (1)

La ecuación (1) también se cumple si b < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por [b, a], y (a, b) se sustituye por (b, a).

Observe que cuando n = 0, (1) se convierte en

Donde z esta entre a y b. esta es la conclusión del teorema del valor medio.

            La demostración del teorema 1 se presentara mas adelante.

Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la fórmula de Taylor:

(2)

Donde z esta entre a y x.

La condición en la que se cumple (2) es que ƒ y sus primeras n derivadas sean continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y x, y la (n + 1 )-esima derivada de ƒ exista en todos los puntos del intervalo abierto correspondiente. La formula (2) puede escribirse como:

Continua….

         (3)

Donde

 (4)

Y

Donde z esta entre a y x                            (5)

Pn(x) se denomina polinomio de Taylor de n-ésimo grado de la función ƒ en el numero a, y Rn(x) se llama residuo. El termino Rn(x), dado en (5), se denomina forma de lagrange del residuo, llamada así en honor al matemático francés joseph l. lagrange (1736-1813).

El caso especial de la fórmula de Taylor que se obtiene al considerar a = 0 en (2) es

Donde z esta entre 0 y x. esta fórmula recibe el nombre de fórmula de maclaurin, en honor al matemático escocés colin maclaurin (1698-1746).

Sin embargo, la fórmula fue obtenida por Taylor y por otro matemático inglés, james stirling (1692-1770). El polinomio de maclaurin de n-esimo grado para una función ƒ, obtenido a partir de (4) con a = 0, es

                                                                        (6)       

De este modo, una función puede aproximarse por medio de un polinomio de Taylor en un número a o por un polinomio de maclaurin.

Ejemplos:

Ilustrativo 1

Se calculara el polinomio de maclaurin de n-esimo grado para la función exponencial natural.

Si ƒ(x) = , entonces todas las derivadas de ƒ en x son iguales a  y las derivadas evaluadas en cero son 1. Por tanto, de (6),

Así, los primeros cuatro polinomios de maclaurion de la función exponencial natural son

Las figuras 1 a 4 muestran la grafica de ƒ(x) =  junto con las graficas de P0(x), P1(x), P2(x) y P3(x), respectivamente, trazadas en el rectángulo de inspección de [-3, 3] por [0, 4].

En la figura 5 se muestran las gráficas de los cuatro polinomios de maclaurin y la grafica de

 ƒ(x) =  en el mismo sistema coordenado. Observe como los polinomios aproximan  para valores  de x cercarnos a cero, y note que conforme n se incrementa, la aproximación mejora. Las tablas 1 y 2 proporcionan los valores de , Pn(x) (cuando n es igual a 0, 1, 2 y 3) y  - Pn(x) para x = 0.4 y x = 0.2, respectivamente. Observe que con estos dos valores de x, a medida que x esta mas cerca de 0, es mejor la aproximación para un Pn(x) especifico.

De (5), la forma de lagrange del residuo, cuando Pn(x) es el polinomio de maclaurin de n-esimo grado para la función exponencial natural, es

Continua..

   donde z esta entre 0 y x            (8)

en particular, si P (x) se emplea para aproximar , entonces

donde z esta entre 0 y x

y

figuras del 1 al 4 muestran Graficas.

2. sucesiones

Una sucesión(o progresión): es una lista de números en un orden específico.

Por ejemplo:

                                   2, 4, 6, 8, 10

forman una sucesión. Esta sucesión se denomina finita por que tiene un ultimo numero. Si un conjunto de números que forman una sucesión no tiene ultimo numero, se dice que la sucesión es infinita. Por ejemplo:

en una sucesión infinita; los tres últimos puntos indican que no hay último número en la sucesión. Como el cálculo trata con sucesiones infinitas, la palabra sucesión en este texto significará sucesión infinita. Se iniciara el estudio de esta sección con la definición de función sucesión.

Definición de función sucesión 

Una función sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto

{ 1, 2, 3, 4, ….., n, ….}

de todos los números enteros positivos.

Los números del contradominio de na función sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden.

Ejemplo: 

Sea ƒ la función definida por

            n e {1, 2, 3, 4,…}

entonces ƒ es una función sucesión, y

continua..

y así sucesivamente. Los elementos de la sucesión definida por ƒ son

etcétera: y la sucesión es la (1). Algunos de los pares ordenados de la función sucesión ƒ son (1, ), (2, ), (3, ), (4, ),  y (5, ).

Por lo general, cuando los elementos se listan en orden se indica el n-ésimo elemento ƒ(n) de la sucesión. De este modo, los elementos de la sucesión (1) pueden escribirse como

,….

Puesto que el dominio de cada función sucesión es el mismo, puede emplearse la notación        { ƒ(n) } para denotar una sucesión. Así, la sucesión (1) puede denotarse por { n/(2n + 1) }. También se utiliza la notación de subíndice {  } para expresar una sucesión para la cual

ƒ(n) = 

grafica

3. series infinitas de términos constantes

una parte importante del estudio del cálculo trata sobre la representación de funciones como sumas infinitas.

Suponga que la asociada a la sucesión

se tiene una suma infinita denotada por

se forma una nueva sucesión  sumando sucesivamente elementos de  :

la sucesión  obtenida de esta manera apartir de la sucesión  es una sucesión de sumas parciales llamada serie infinita.

Definición de serie infinita

Si  es una sucesión y

entonces  es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

los números  son los términos de la serie infinita.

Continua…

Ejemplo:

sea la serie infinita

(a)     obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesión de sumas parciales y

(b)     determine una fórmula para  en términos de n.

solución

(a) como