1. Teorema de Pitágoras

El conocimiento del teorema de Pitágoras es milenario y no obstante que ha sido demostrado en muchas formas diferentes y de que aparentemente ya se conoce todo con respecto a este teorema, muchas propiedades sorprendentes de la ecuación Pitagórica han permanecido ocultas.

Damos gracias a Dios por concedernos la percepción de algunas de esas maravillas.

En esta lectura se propone un método para clasificar las ternas pitagóricas, este método constituye la verdadera y completa solución de la ecuación pitagórica y también les confiere a dichas ternas su estado normal en armonía con las leyes naturales.

Si son enteros y satisfacen , entonces existen infinitas ternas pitagóricas con diferente configuración, como se muestra a continuación:

Actualmente, bajo el criterio vigente, para asignar a una terna la categoría de primitiva, es suficiente que la terna satisfaga las siguientes dos condiciones:

satisfacen, entonces existen infinitas ternas Pitagóricas con diferente configuración, como mostramos enseguida:

La nueva solución está basada en el origen numérico de la ecuación y corrige la antigua y errónea clasificación para las llamadas "ternas pitagóricas primitivas", También unifica bajo un criterio generalizado las leyes que rigen sus diferentes parámetros de conformación.

Seguidamente mostramos varios conjuntos de ternas Pitagóricas con diferentes valores de que además de las condiciones expuestas anteriormente también satisfacen que.

Para :

Para

{8, 15, 17}, {12, 35, 37}, {16, 63, 65}, {20, 99, 101}, {24, 143, 145}

Para :

Para

Podemos apreciar que la secuencia de las diferencias, es decir, la diferencia entre las magnitudes correspondientes a la hipotenusa y el cateto mayor es:

A continuación determinaremos cual es el patrón general para la conformación de la ecuación:

Si entonces puede ser un entero par o impar.

es impar sí y solo sí es decir, el cuadrado de cualquier número impar.

es par si y solo si es decir, que partiendo de la diferencia entre cada dos de los números siguientes se incrementa sucesivamente en 4 unidades, enseguida se muestra la secuencia ascendente del incremento de la diferencia:

La siguiente es la secuencia de conformación de:

La solución ancestral para la ecuación , (1.1)

El texto en negrilla fue traducido literalmente del libro "13 lectures on Fermat's last theorem" por Paulo Ribenboim. AMS classification (1980): 10-03, 12-03, 12Axx

Sí son enteros, diferentes de cero, que satisfacen (1.1)

Considerando los valores absolutos , estos números son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo

Para determinar todas las soluciones enteras no triviales de (1.1), basta determinar las llamadas ternas pitagóricas primitivas

, , .

El siguiente teorema da una descripción completa de las denominadas ternas primitivas:

(1A) Si son enteros diferentes de cero y de paridad diferente,

Si se cumple que: Entonces la terna es denominada Pitagórica primitiva.

El siguiente texto, entre [ ], fue traducido del libro de Paulo Ribenboim "13 lectures on Fermat's last theorem". AMS clasificación (1980): 10-03, 12-03, 12Axx.

[ Las menores ternas primitivas ordenadas de acuerdo a incrementos en los valores de z, son las siguientes:

Fermat demostró el siguiente teorema: n > 0 es la suma de los cuadrados de dos números enteros Sí y solo si cada factor primo p de n, tales que p º 3 (mod. 4), aparece como una potencia par en la descomposición de n en factores primos.

Para encontrar el número de representaciones de la suma de dos cuadrados. Si r(n) es el número de parejas de enteros (a, b) de manera que n = . Por ejemplo, r (1) = 4 y r (5) = 8. La determinación de r (n) en factores primos fue elaborada independientemente por Gauss y Jacobi:

, donde:

| 1 £ d, d ½ n,

| 1 £ d, d ½ n, ]

2. La verdadera y completa solución

Demostraremos, que una terna Pitagórica es original, si y solo si satisface los parámetros que posteriormente serán definidos, tales parámetros determinan que las ternas originales se configuran exclusivamente en la forma: , de manera que .

Denomino original a toda terna Pitagórica cuya configuración corresponde al modelo anterior.

A continuación muestro la forma en que represento las diferentes clases de ternas

Primitivas, de acuerdo con el método tradicional

Originales, enteras o fraccionarias.

Primarias.

Bajo el criterio vigente x es par e y es impar, bajo el nuevo X es impar, mientras que Y es par.

Cuando n es una fracción, la llamo fracción generatriz y la represento como .

Se considera, sin pérdida de generalidad, que el lado menor de cualquier triángulo rectángulo, es siempre adyacente al ángulo denominado a , lo cual implica que cosa es siempre menor que sena ..

Los conjuntos involucrados en las demostraciones se simbolizan de la forma siguiente:

Z ⁺ = Enteros positivos.

Q = Fracciones racionales positivas.

F = Fracciones irracionales positivas.

Se restringe el nuevo criterio, sin pérdida de generalidad, al primer cuadrante, es decir a ángulos comprendidos entre cero y , por lo tanto, a enteros positivos y fracciones positivas racionales o irracionales.

Teorema (1-B). Para cada existen tres números enteros , de tal manera, que satisfacen las siguientes condiciones:

E-4

E-5

E-6

E-7

E-8

Lema (1-B).-Sí y sí entonces es equivalente a un

binomio cuadrado perfecto, en la forma siguiente:

como , siendo , esto implica que , reemplazando

por en resulta que .

El siguiente es un resumen del proceso empleado para encontrar la sucesión pertinente:

Las siguientes ternas , en las cuales , satisfacen

{(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (13, 84, 85), (15 112, 113),.., }

Los números resaltados: { 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112,.., ¥ , son las magnitudes correspondientes al lado Y para todo triángulo cuyos lados satisfacen

En la siguiente tabla, sin tomar en cuenta el factor , el primer término de cada binomio, dentro del paréntesis subrayado en la columna a la izquierda, es igual a la suma de los dos términos contenidos dentro del paréntesis anterior, también subrayado, El segundo término del mismo binomio, es igual al segundo término del binomio precedente, incrementado en 1.

También, cada binomio sobre la misma primera columna, es equivalente a la adición de los enteros sucesivos expresados dentro del paréntesis inmediato a la derecha.

4 = 4 x 1 = 2².(0+1) = 2².(0+1)----------------n = 1 Þ Y = 2n.(n+1) = 2 x 1.(1 + 1)

12 = 4 x 3 = 2².(1+2) = 2².(1+2)----------------n = 2 Þ Y = 2n.(n+1) = 2 x 2.(2 + 1)

24 = 4 x 6 = 2².(3+3) = 2².(1+2+3)-------------n = 3 Þ Y = 2n.(n+1) = 2 x 3.(3 + 1)

40 = 4 x 10 = 2².(6+4) = 2².(1+2+3+4)----------n = 4 Þ Y = 2n.(n+1) = 2 x 4.(4 + 1)

Por lo tanto, para cada -existe una terna , de tal forma, que satisface en la cual Y es equivalente a multiplicado por la suma de los enteros consecutivos contenidos entre 1 y n.

Es conocido que la suma de una sucesión de enteros positivos entre 1 y n, es equivalente a la mitad del producto de n por su sucesor, como se muestra a continuación:

Ejemplo:

Lema (2-B). Por lo tanto,

Sí X es un número impar mayor que 1 que corresponde a la forma , aplicando entonces para hallar Z un proceso similar al usado para encontrar Y, resulta:

Para todo se cumple que

De igual manera, las anteriores expresiones satisfacen (E-4), (E-5), (E-6), (E-7), (E-8), como sigue:

3. Observaciones.

Para que una terna de números enteros, sea original, los tres términos tienen que ser una función de la sumatoria: .

Para que cualquier impar , sea primo, necesariamente

Representaré la función correspondiente a la sumatoria de fracciones así:

Teorema (1-D). Para cada fracción , racional o irracional, , existen tres fracciones racionales o irracionales, , , de tal forma, que satisfacen las siguientes condiciones:

4. Lema (1-D). Conformación de las ternas originales fraccionarias.

Las ternas: = (45, 28, 53), (55, 48, 73), (95, 168, 193), satisfacen

Dividiendo los tres términos de cada una de estas ternas por , que es común para las tres, obtenemos respectivamente las siguientes ternas formadas por tres fracciones a las cuales representaremos en forma general como , y que satisfacen

,

Los valores correspondientes a Y, para cada una de estas ternas son: 28/ 25, 48/ 25, 168/ 25

A continuación determinaré el patrón que rige su conformación.

Emplearé indistintamente para representar la función ,

, están conformadas de acuerdo a un

mismo patrón, así:

Como e .

Si q es impar y como , esto implica que:

Representando por l y h , respectivamente, los numeradores del primero y del último término de la sumatoria, esta se reduce a la forma siguiente:

Como , entonces Sí q es impar, es par, de manera que, 2 aparece como factor en la descomposición de en factores primos, por lo tanto es divisible por 2. Esto implica que tanto l como los demás numeradores de los términos de la sumatoria se reducen a enteros.

Sí q es par implica que es impar y por lo tanto no divisible por 2, entonces l y los demás numeradores de los diferentes términos de la sumatoria son fracciones irreducibles a enteros

Las siguientes son las propiedades de la sumatoria :

Común denominador =

Numerador del primer término =

Numerador del último término =

Numero de términos = p.

En el ejemplo siguiente el denominador q, de la fracción generatriz, es par.

Por lo tanto:

Para la conformación de las ternas pitagóricas fraccionarias irracionales rigen los mismos parámetros que para la de las fraccionarias racionales:

Los siguientes son los tres casos posibles:

1- p es racional y q irracional

2- p es irracional y q racional

3- p y q son irracionales.

Para determinar el desarrollo de la sumatoria correspondiente al primer caso, cuando p es racional y q irracional, basta aplicar el método empleado cuando p y q son enteros, es decir es racional.

Por ejemplo:

El número de términos de la sumatoria es

Para determinar el número de términos, que obviamente tiene que ser entero, si p es irracional y q racional, es necesario racionalizar p,. de esta manera el caso se reduce al anterior.

Por ejemplo: , racionalizando p, resulta que

, entonces

Despejando Y, a partir de la fracción inicial , sin racionalizar :

,

Dado que , entonces

Por lo tanto,

Para el desarrollo de la sumatoria en el tercer caso, es decir cuando p y q son irracionales, también resulta evidente la necesidad de racionalizar p

El número de términos es:

Despejando Y a partir de la fracción inicial , sin racionalizar :

, dado que

entonces

Por lo tanto:

Para el mismo tercer caso, si (p, q) son irracionales propios, se procede en general de la siguiente manera:

(Denomino irracionales propios a los irracionales cuya racionalización es imposible).

(Selecciono 2 como factor auxiliar en el numerador y denominador de la fracción generatriz, ya que así se reducen a este número los términos de la sumatoria).

Cuando , como en el caso siguiente:

Despejando Y a partir de la fracción inicial ,

Por lo tanto, para toda fracción p/ q, (p, q) irracionales propios,

Como , correspondiendo Y a una terna que satisface las 8 condiciones establecidas en el teorema (1-D), aplicando entonces para X y Z, resulta:

*En referencia a la representación de enteros positivos impares como la suma de dos cuadrados, las nuevas expresiones anteriormente expuestas, no son válidas únicamente para enteros como son los hallazgos en esta materia de Fermat, Gauss y Jacobi; sino que también aplican para fracciones tanto racionales como irracionales.

Corolario (1-B). Dado que , esto implica, que el cuadrado de todo número impar mayor que 1, es igual a la suma de dos números enteros consecutivos, así:

Corolario (1-C). Dado que , entonces, es igual a un entero par y como , resulta que el cuadrado de todo número impar es igual a la suma de dos fracciones racionales consecutivas.

(Consideramos que dos fracciones son consecutivas cuando su diferencia es 1).

Ejemplos:

5. Clasificación de las ternas originales.

1.- Enteras----------Las que están formadas por tres enteros.

2.- Fraccionarías---Dos o los tres términos son fracciones.

3.- Irracionales-----Uno o mas términos son irracionales.

6. Las ternas primarias..

Las ternas primarias son las formadas por enteros , que son primos relativos, es decir , y satisfacen , pero y tampoco cumplen el resto de condiciones necesarias para ser originales.

Dividiendo los tres términos, , de una terna primaria, por , obtenemos la correspondiente terna original en la cual la hipotenusa, del correspondiente triángulo, es igual al cateto mayor mas 1, por este medio podemos reducir cualquier terna primaria a su estado original.

Dividiendo por e igualando los resultados a respectivamente, obtenemos:

Entonces .

Por ejemplo: la terna primaria,

corresponden. , lo cual determina que la terna

, sea original. Entonces , donde

Para obtener cada terna primaria basta amplificar la correspondiente terna original fraccionaria. Por cada reemplazo de n por una diferente fracción , obtendremos una diferente terna original fraccionaria.

Las fracciones generatrices , originan las menores ternas fraccionarias originales, ordenadas de acuerdo a incrementos de X, (X entero y par), así:

Las siguientes son las ternas primarias que corresponden respectivamente a las ternas originales del conjunto anterior, tales ternas cumplen , son primos relativos, pero no satisfacen el resto de condiciones necesarias para ser originales.

Resulta el siguiente conjunto de ternas que satisfacen los parámetros necesarios para ser originales:

,..,

Intercalando en forma ordenada, de acuerdo a los valores pares e impares de X, resulta:

A continuación probaremos el cumplimiento de la terna con relación a los parámetros determinantes del estado original.:

Reduciendo a un común denominador, en este caso 2, al cancelar dicho denominador resultan las siguientes ternas primarias conformadas por tres enteros, ,que son primos relativos, y satisfacen que , pero no así, las restantes condiciones necesarias para ser originales.

Ejemplos

Las ternas son solamente primarias.

7. Secuencia de las raíces.

Dado que , esto determina que es un punto de convergencia, lo cual implica que , es decir, sí entonces X tiene que ser menor que Y. Esto es válido para las ternas fraccionarias originales y por ende para las primarias.

Recíprocamente, Sí por lo tanto, las raíces originales , constituyen parejas ordenadas y sus respectivos valores no son permutables con relación al cumplimiento de las condiciones determinantes de la originalidad.

Permutando los valores correspondientes de , en una terna primaria, donde Por ejemplo, la terna entonces la terna se convierte en , y por lo tanto Sí el valor de q correspondiente a una fracción generatriz p/ q, es 2, esto determina una clase de ternas originales en las cuales X es un entero par y tanto Y como Z son fracciones cuyos numeradores son impares y sus denominadores son iguales a 2.

Sí , dado que, esto determina que p es impar y por lo tanto, es par.

, Si p es impar también es impar,

, Sí p es impar también es impar.

8. Los triángulos rectángulos isósceles.

La terna , asociada usualmente con estos triángulos no satisface las condiciones de originalidad. Considerando, que los catetos tienen que ser iguales entre sí, entonces

Por (E-7),

Por lo tanto,

Como , despejando n, resulta que la fracción generatriz es: .

Es interesante despejar la misma terna original a partir de , como sigue:

La terna satisface las condiciones para ser original.

9. Triángulos con ángulos complementarios de 30⁰ y 60⁰

Dado que representan los lados de tales triángulos, reducidos a su mínima expresión, y como ( , La terna , satisface las ecuaciones comprendidas entre (E- 1) y (E- 8).

Reemplazando las menores ternas originales enteras, ordenadas de acuerdo a incrementos en los valores impares de X, son las siguientes:

El siguiente conjunto corresponde a las menores ternas primitivas, ordenadas de acuerdo al criterio ancestral, es decir a incrementos del valor de z :

A continuación mostramos las mismas ternas, ordenadas de acuerdo a incrementos de X:

Las hipotenusas correspondientes a los triángulos de lados (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25). son respectivamente iguales al cateto mayor del triángulo, incrementado en 1.

Las hipotenusas correspondientes a los triángulos de lados