1. Introducción

Este es un método para resolver ecuaciones lineales no homogéneas, éste sólo se aplica a una clase restringida de ecuaciones. No obstante, la ventaja consiste en que, cuando este método es el pertinente, por lo general es más fácil de emplear que los otros métodos.

En primer lugar este método se aplica a ecuaciones del tipo:

donde las son constantes y es una función que se puede anular mediante la aplicación de un operador con coeficientes constantes. Así que, por ejemplo, no se puede emplear este método para resolver una ecuación de la forma (1), en el cual Como preparación para el método de coeficientes indeterminados, reescribimos (1) en notación operacional:

Ahora estamos listos para establecer el procedimiento general. Por evidencia, hemos dividido este procedimiento en tres etapas.

Etapa I Para resolver la ecuación (2), comenzamos por encontrar un operador con coeficientes constantes que anule a (Si no existe dicho operador el método no se aplica). Se aplica el operador en ambos miembros de (2), obteniendo una ecuación lineal homogénea de orden más alto:

en la cual, el primer factor del operador es el anulador de

Etapa II Enseguida, se resuelve (3) mediante el método de ecuaciones con coeficientes constantes. La ecuación auxiliar ya se encuentra parcialmente factorizada, lo cual nos ahorra algo de trabajo:

Obtenemos la solución completa de (3):

Comparando (4) con la solución de la ecuación homogénea relacionada asociada con (2), decidiremos, cuáles de los coeficientes son arbitrarios para la solución de (2). Los coeficientes restantes serán los coeficientes indeterminados.

Etapa III Los términos de (4) que contienen los coeficientes indeterminados constituyen una solución de (2). Sustituimos la suma de estos términos en (2) para determinar los valores de los coeficientes indeterminados. Por último, se introducen estos valores en (4).

Ejemplo. La ecuación se resuelve de la siguiente forma:

En notación operacional, (5) se transforma en:

Se procede a anular el miembro derecho:

Completando la etapa I del proceso. A continuación, se resuelve (6) formando la ecuación auxiliar:

Y factorizando tenemos:

De las raíces y obtenemos la solución de (6)

en las que se reconocen los dos últimos términos como la solución de la ecuación homogénea relacionada asociada con (5). Por tanto C y E son constantes arbitrarias para la solución de (5), lo cual deja A y B como los coeficientes indeterminados. Ahora, la etapa II está completa.

En la etapa III se establece y diferenciamos dos veces:

Luego sustituimos estas funciones en (5):

Ordenando términos, este resultado se simplifica en:

lo cual conduce a las dos ecuaciones:

Estas ecuaciones se satisfacen con los valores:

Por último, se introducen estos valores en (7) para formar la solución completa de (5):

2. Variación de parámetros

Si se fuera a resolver la ecuación lineal no homogénea:

empleando la reducción de orden, se tendría que elegir entre dos soluciones:

o

que corresponden a dos soluciones de la ecuación homogénea relacionada, la cual es una ecuación de Cauchy-Euler. Cada una de las elecciones anteriores debería conducir a una ecuación lineal de primer orden no separable que requiere ser resuelta. Sin embargo, existe una forma más sencilla de resolver la ecuación (1), en la que se combinan las dos sustituciones (2) de la manera siguiente:

Aquí se reemplaza y por dos funciones desconocidas u y v.

Para la ecuación , en primer lugar, se deben calcular y para sustituir en (1). Según la regla del producto se obtiene:

Al calcular la siguiente derivada se requiere aplicar cuatro veces la regla del producto. No obstane, en esta parte se puede aprovechar el hecho de que hemos reemplazado una función desconocida por dos: puede haber algo de flexibilidad en la elección de funciones u y v que satisfagan la ecuación dada. En particular, suponga que buscan soluciones u y v, para las cuales cancelamos algunos de los términos que aparecen en (4) unos con otros. Dicha cancelación simplificará el proceso. El enfoque correcto (esto es, el que sabemos que funciona bien), es el que consiste en buscar u y v, tales que los términos y que aparecen en (4) se cancelen unos con otros:

Entonces podemos calcular directamente de

El resultado, según la regla del producto, es:

Cuando se sustituye este resultado y(3) en la ecuación dada (1), se llega a:

En el cual se cancela un número de términos, y sólo nos queda:

Así, para que u y v satisfagan (1), sus derivadas deben satisfacer (6). Además, se ha supuesto que estas derivadas satisfacen la ecuación (5). Así tenemos los dos requisitos:

que son precisamente dos ecuaciones lineales (algebraicas, no diferenciales) con dos incógnitas y . Resolver el sistema de ecuaciones para y en términos de x es relativamente fácil; luego, u y v se obtienen por integración.

Si se multiplica la ecuación (5) por x y se suma el resultado a (6), tenemos:

y entonces:

Ahora se puede sustituir el resultado anterior en (5) o bien en (6) para producir . El resultado es

y entonces:

Omitimos las constantes de integración puesto que sólo se necesita una solución. Por último, volviendo a (3), tenemos:

Y tenemos así una solución de la ecuación (1). La solución completa de la ecuación es:

En cuya expresión se ha sumado la solución de la ecuación homogénea relacionada como es usual. Sin embargo, es posible alguna simplificación. Se pueden combinar dos términos y escribir:

donde se ha reemplazado por la constante arbitraria A más simple.

3. Teoría general

En general, para resolver una ecuación lineal de segundo orden:

sustituimos:

Donde y son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea resultante asociada con la ecuación (7). (Por lo tanto, éste es un método para resolver una ecuación no homogénea cuando se conoce la solución completa de la ecuación homogénea resultante). Al llevar a cabo la variación de parámetros, se debe recordar la siguiente pareja de ecuaciones:

Éstas son las condiciones que deben satisfacer y de tal manera que u y v satisfagan la ecuación dada (7) cuando se sustituyen, según se plantea en (8). (Mientras que las ecuaciones (9) y (10) son condiciones suficientes, pudieran no ser condiciones necesarias).

4. Teorema

Una solución de la ecuación:

está dada por:

donde y son cualesquiera dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea relacionada, asociada con (11), si las derivadas de u y v satisfacen las condiciones:

Así que, para resolver una ecuación de la forma (11), se deben seguir los pasos siguientes:

1. Encontrar y .
2. Resolver (13) y (14), obteniendo así y en términos de x.
3. Integrar y para obtener u y v (no se necesitan constantes de integración).
4. Introducir u y v en (12) para producir y.

5. Bibliografía

Marcus, Daniel A.
Ecuaciones Diferenciales
Tercera impresión.
Compañía Editorial Continental, S.A. de C.V.

Autor:
jom81@uol.com.mx