Introducción.
Aprender
matemáticas, física y química “es muy difícil”; así se expresan la
mayoría de estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca
una explicación del porqué no aprenden las ciencias exactas los alumnos.
Nuestra teoría es la siguiente: “Los alumnos no aprenden ciencias exactas,
porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en la escuela
(leyes, teoremas, formulas) con los problemas que se le presentan en la vida
real”. Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo. El
presente trabajo pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la
“lógica matemática”, él sea capaz de encontrar estos relacionamientos
entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una
buena estructura cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática
puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta
manera crear conocimiento.
La
lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de
reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es
ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En
la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una
frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite
saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e
inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En
la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la
tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico,
por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que
realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una
persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya
que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte
baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya
tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de
izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la
aplicación de la lógica.
La
lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los
que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y
apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos
inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los
mismos.
El
orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece
la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de
proposición. Se establece el significado y utilidad de conectivos lógicos para
formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos las proposiciones
condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción y
contingente, y proporcionamos una
lista de las tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se le
llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad.
Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por
contradicción, en donde incluye reglas de inferencia.
En
este trabajo se trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que le
sean familiares. Nuestro objetivo es que el alumno aprenda a realizar
demostraciones formales por el método directo y el método por contradicción.
Ya que la mayoría de los libros comerciales únicamente se quedan en explicación
y demostración de reglas de inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende
lógica matemática no tendrá problemas para aprender ciencias exacta y será
capaz de programar computadoras, ya que un programa de computadora no es otra
cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona establece para resolver
n problema determinado.
Es
importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar
al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las
reglas de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero
definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones como
alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante
tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que
cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia
solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las
reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.
Desarrollo.
La
lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En
un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si
es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas
para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o
no correctos los programas; en las ciencias
física y
naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias
sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas.
Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar
cualquier actividad.
Proposiciones
y operaciones lógicas.
Una
proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no
ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.
A
continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas,
y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las
proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la
proposición propiamente dicha. Ejemplo.
p:
La
tierra es plana.
q:
-17
+ 38 = 21
r:
x
> y-9
s:
El
Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.
t:
Hola
¿como estas?
w:
Lava
el coche por favor.
Los
incisos p y q
sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son
proposiciones validas. El inciso r
también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero
depende del valor asignado a las variables x y y en determinado
momento. La proposición del inciso s
también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera
se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo
los enunciados t y w
no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de
ellos es un saludo y el otro es una orden.
Conectivos
lógicos y proposiciones compuestas.
Existen
conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas
(formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:
Operador
and (y)
Se
utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda
obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù,
un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica:
Ejemplo.
Sea
el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y
tiene corriente la batería”
Sean:
p:
El coche enciende.
q:
Tiene gasolina el tanque.
r:
Tiene corriente la batería.
De
tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica
es como sigue:
p = q Ù
r
Su
tabla de verdad es como sigue:
|
q
|
r
|
p
= q Ù
r
|
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
|
0
|
0
|
0
|
Donde.
1
= verdadero
0
= falso
En
la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1
significa que la batería tiene corriente y p
= q Ù
r=1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen
cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.
Operador Or (o)
Con
este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las
proposiciones es verdadera. Se eindica por medio de los siguientes símbolos: {Ú,+,È}.
Se conoce como las suma lógica. Ejemplo.
Sea
el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u
obtiene un pase”. Donde.
p:
Entra al cine.
q:
Compra su boleto.
r:
Obtiene un pase.
|
q
|
r
|
p
= q Ù
r
|
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
|
0
|
0
|
0
|
|
q
|
r
|
La
única manera en la que no puede ingresar al cine
(p=0), es que no compre su boleto (q=0)
y que no obtenga un pase (r=0).
|
|
p
=q Ú
r
|
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
1
|
|
0
|
1
|
1
|
|
0
|
0
|
0
|
Operador
Not (no)
Su
función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es
verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación
(falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, Ø,-}.
Ejemplo.
|
|
La
negación de está lloviendo en este momento (p=1), es no está
lloviendo en este momento (p’=0)
|
|
Además
de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo
funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado
es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con
verdad el resultado es falso.
En
este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más
complejos. Ejemplo
Sean
las proposiciones:
p:
Hoy es domingo.
q:
Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.
r:
Aprobaré el curso.
El
enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no
aprobaré el curso”. Se puede representar simbólicamente de la siguiente
manera:
p
Ù
qÚ
r
Por
otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores
compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina
operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).
Proposiciones
condicionales.
Una
proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones
simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:
p
®
q
Se lee “Si p entonces q”
Ejemplo.
El
candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República
recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una
declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la
siguiente:
Sean
p:
Salió electo Presidente de la República.
q:
Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.
De
tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.
p
®
q
Su
tabla de verdad queda de la siguiente manera:
|
p
|
q
|
p
®
q
|
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
|
0
|
0
|
1
|
La
interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:
Considere
que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación
del enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió electo,
q=1 y recibieron un aumento
de 50% en su sueldo, por lo tanto p ®
q =1; significa que el
candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=1 y q=0 significa que
p ®
q =0; el candidato
mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p=0 y
q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario,
que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco
mintió de tal forma que
p ®
q =1.
Proposición
bicondicional.
Sean
p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal
de la siguiente manera:
p
«
q
Se lee “p si solo si q”
Esto
significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es
falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una
proposición bicondicional
“Es
buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez”
Donde:
p:
Es buen estudiante.
q:
Tiene promedio de diez.
por
lo tanto su tabla de verdad es.
|
p
|
q
|
p
«
q
|
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
|
0
|
0
|
1
|
|
|
La
proposición condicional solamente es verdadera si tanto p
como q son falsas o bien ambas verdaderas
|
|
A
partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier
enunciado con conectores lógicos.
Ejemplo.
Sea
el siguiente enunciado “Si no
pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y
Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado.
Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la
deuda, si solo si soy desorganizado”
Donde:
p:
Pago la luz.
q:
Me cortarán la corriente eléctrica.
r:
Me quedaré sin dinero.
s:
Pediré prestado.
t:
Pagar la deuda.
w:
soy desorganizado.
(p’
®
q) Ù
[p
®
(rÚs)
]
Ù
[(rÙ
s) ®
t’ ]
«
w
Tablas
de verdad.
En
estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad.
A continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(p®q)Ú
(q’Ùr)
]«
(r®q).
|
p
|
q
|
r
|
q’
|
p®q
|
(q’Ùr)
|
(p®q)Ú
(q’Ùr)
|
r®q
|
[(p®q)Ú
(q’Ùr)
]«
(r®q)
|
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
El
número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la
expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.
No
de líneas = 2n
Donde n = número de variables distintas.
Es
importante destacar a medida que se avanza en el contenido del material el
alumno deberá participar activamente. Estos significa que cuando se esta
definiendo proposiciones y características propias de ellas, además de los
ejemplos que el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones
diferentes, deberá entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven
conectores lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación
de proposiciones más complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo
que el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para
el estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber
perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En pocas palabras el
conocimiento deberá ser significativo.
Tautología
y contradicción.
Tautología,
es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de
verdad de sus variables. Un ejemplo
típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.
|
p
|
q
|
p’
|
q’
|
p®q
|
q’®p’
|
(p®q)«(q’®p’)
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
Note
que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la
proposición es siempre 1. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática
ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar
demostraciones.
A
continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y
reglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente
el autor no consideró..
1.- Doble negación.
a).
p''Ûp
2.- Leyes conmutativas.
a).
(pÚq)Û(qÚp)
b).
(pÙq)Û(qÙp)
c).
(p«q)Û(q«p)
3.- Leyes asociativas.
a).
[(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)]
b.
[(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)]
4.- Leyes distributivas.
a).
[pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)]
b.
[pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]
5.- Leyes de idempotencia.
a).
(pÚp)Ûp
b).
(pÙp)Ûp
6.- Leyes de Morgan
a).
(pÚq)'Û(p'Ùq')
b).
(pÙq)'Û(p'Úq')
c).
(pÚq)Û(p'Ùq')'
b).
(pÙq)Û(p'Úq')'
7.- Contrapositiva.
a).
(p®q)Û(q'®p')
8.- Implicación.
a).
(p®q)Û(p'Úq)
b).
(p®q)Û(pÙq')'
c).
(pÚq)Û(p'®q)
d).
(pÙq)Û(p®q')'
e).
[(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r]
f).
[(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)]
9.- Equivalencia
a).
(p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)]
10.- Adición.
a).
pÞ(pÚq)
11.- Simplificación.
a).
(pÙq)Þp
12.- Absurdo
a).
(p®0)Þp'
13.-
Modus ponens.
a).
[pÙ(p®q)]Þq
14.- Modus tollens.
a).
[(p®q)Ùq']Þp'
15.-
Transitividad del «
a).
[(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r)
16.- Transitividad del ®
a).
[(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r)
17.- Mas implicaciones lógicas.
a).
(p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)]
b).
(p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)]
c).
(p®q)Þ[(q®r)®(p®r)]
18.- Dilemas constructivos.
a).
[(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)]
b).
[(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)]
Contradicción
es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad,
una de las mas usadas y mas sencilla es pÙp’
. Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.
Si
en el ejemplo anterior
p:
La puerta es verde.
La
proposición pÙp’
equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es verde”. Por lo
tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.
Una
proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de
verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente.
Equivalencia
lógica.
Se
dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes.
Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p º
q.
Considero
que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en
donde se puede observar que las columnas de (p®q)
y (q’®p’)
para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p®q)
º
(q’®p’)
Reglas
de inferencia
Los
argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento
universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las
proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que
contienen. A esos argumentos se les llama reglas
de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más
tautologías o hipótesis en una demostración.
Ejemplo
1
¿Es
valido el siguiente argumento?.
Si usted invierte en
el mercado de valores, entonces se hará rico.
Si se hace usted
rico, entonces será feliz.
____________________________________________________
\Si
usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.
Sea:
p:
Usted invierte en el mercado de valores.
q:
Se hará rico.
r:
Será feliz
De
tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica
de la siguiente manera:
p ®
q
q ®
r
______
\
p ®
r
Ejemplo
2.
¿Es
valido el siguiente argumento?.
Si bajan los
impuestos, entonces se eleva el ingreso
El ingreso se eleva.
_________________________________________
\Los
impuestos bajan
Solución:
Sea
p:
Los impuestos bajan.
q:
El ingreso se eleva.
p ®
q
q
_____
\p
El
aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta más al alumno y se deberá
poner mucha atención para que el alumno aprenda a aplicar dicha regla.
En
una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen
reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la
parte en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que
regla aplicar para resolver un determinado problema. A continuación se cita una
lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una
demostración.
19.-
Adición
23.- Conjunción
p
p
_______
q
\pÚq
_________
\
p Ùq
20.-
Simplificación
24.- Modus pones
p Ùq
p
____________
p®q
\
p
_________
\
q
21.-
Silogismo
disyuntivo
25.- Modus tollens
pÚq
p®q
p’
q’
_________
___________
\
q
\
p’
22.-
Silogismo hipotético
p®q
q®r
________
p®r
Métodos
de demostración.
Demostración
por el método directo.
Supóngase
que p®q
es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las
que intervengan cualquier número de variables propositvas, se dice que q se
desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma.
(p1
Ù
p2 Ù.......Ù
pn) Þ
q
Es
una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los
valores de verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice que q
se desprende lógicamente de p1,p2,......,pn. Se escribe.
p1
p2
.
.
.
pn
___
\
q
Realmente
el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando
el método directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2 es
verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que q es
verdadera.
Prácticamente
todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este
tipo.
(p1
Ù
p2 Ù.......Ù
pn) Þ
q
Donde
la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión.
“Demostrar el teorema”, es demostrar que la implicación es una tautología.
Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera,
sino solamente que q es verdadera si todas las pi son verdaderas.
Toda
demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y
reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la conclusión.
A
continuación se prueba un enunciado en donde se puede apreciar el uso tanto de
las tautologías como de las reglas de inferencia.
Sean
p: Trabajo.
q: Ahorro.
r: Compraré una casa.
s: Podré guardar el coche en mi casa.
Analizar
el siguiente argumento:
"Si
trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré
guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en
mi casa, entonces no ahorro".
El enunciado anterior se puede representar como:
p Ú q ® r;
y
r ® s; entonces
s' ® q'
Equivale también a probar el siguiente teorema:
[(p
Ú
q) ®
r] Ù
[r ®
s] Þ
[s' ®
q']
Como
se trata de probar un teorema de la forma general:
p1 Ù p2 Ù......Ù pn Þ q
Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos.
A continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno de sus pasos en
tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.
1.-
(p Ù q) ® r
Hipótesis
2.-
r ® s
Hipótesis
3.-
q ® (q Ù p)
Adición tautología 10
4.-
q ® (p Ú q)
3; ley conmutativa, regla 2
5.-
q ® r
4,1; silogismo hipotético, regla 22
6.-
q ® s
5,2; regla 22
7.-
s' ® q'
6; contrapositiva, regla 7.
El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o
verdadera.
Es
recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras líneas
son hipótesis, la línea 3 es una tautología conocida y de la línea 4 a 7 se
obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia
aplicada por medio del número de la derecha, y las líneas a las cuales se les
aplicó dicha regla de inferencia
por medio de los números de la izquierda.
El
ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada
como sea necesario y el método debe funcionar.
Demostración
por contradicción.
El
procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se
realizó por el método directo con la diferencia de que las líneas iniciales
de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se
incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por
otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción.
La
demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se
indica
[p
®
(p Ù
r) ]
Ù
[(q
Ú
s) ®
t ]Ù
(p Ú
s) Þ
t
Demostración
1.-
p ® (p Ù r)
Hipótesis
2.-
(q Ú s) ® t
Hipótesis
3.-
p Ú s
Hipótesis
4.-
t’
Negación de la conclusión
5.-
(qÚ
s)’
2,4; Modus tollens, regla 25
6.-
q’ Ù s’
5; Ley de Morgan, 6ª
7.-
q’
6; Simplificación, regla 20
8.-
s’ Ù q’
6; Ley conmutativa, 2b
9.-
s’
8; Simplificación, regla 20
10.- sÚ
p
3; Ley conmutativa, 2ª
11.- p
10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21
12.- q
Ù r
11,1; Modus ponens, regla 24
13.- q
12; Simplificación, regla 29
14.- q
Ù q’
13,7; Conjunción, regla 23
15.- Contradicción.
Note
que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión.
En este momento el alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo
demostraciones con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios
enunciados, para que el alumno los represente con simbología lógica en forma
de teorema. Que ese mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la
correspondiente demostración por los dos métodos antes mencionados
La forma en que el aprende a aplicar reglas de inferencia es semejante a la
manera en que deberá realizar una factorización o una aplicación de una fórmula
en cálculo diferencial o integral o la formula que debe aplicar para resolver
un problema en física. Lo que debe aprender es a relacionar los distintos
conocimientos para poder llegar a la solución. Es importante mencionar que el
camino que debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro siguió sino uno
distinto pero que ambos llegan al resultado.
Conclusiones.
La
idea principal de este trabajo es que el alumno aprenda el concepto de proposición,
la forma en que se pueden formar proposiciones compuestas usando los conectores
lógicos, representar enunciados por medio de simbología lógica, conocer los
conceptos de tautología, equivalencia lógica, regla de inferencia. Realizar
demostraciones de teoremas por medio del método directo y contradicción. Pero
con problemas que le sean familiares e interesantes. Se trata de que en cada uno
de los subtemas participe proponiendo sus propios ejemplo y que sobre todo al
final de la unidad él tenga la habilidad, confianza e iniciativa para inferir
posibles soluciones.
Todo
enunciado puede ser planteado en términos de teoremas. Un teorema por lo
general es resultado de un planteamiento de un problema, este planteamiento debe
tener el siguiente formato.
(p1
Ù
p2 Ù.......Ù
pn) Þ
q
Como
se establece p1, p2 ,......,pn son
hipótesis (o premisas) derivadas del mismo problema y que se consideran válidas.
Pero además deberán conectarse con el operador
And (Ù),
lo cual implica que p1 es cierta y (Ù)
p2 es verdad y (Ù)......
y pn también es cierta entonces (Þ)
la conclusión (q) es cierta. Para realizar la demostración formal del teorema
se deberá partir de las hipótesis, y después obtener una serie de pasos que
también deben ser válidos, ya que son producto de reglas de inferencia. Sin
embargo no solamente las hipótesis y reglas de inferencia pueden aparecer en
una demostración formal, sino también tautologías conocidas. En el teorema
anterior cada uno de los pasos p1, p2,...pn son escalones que deberán
alcanzarse hasta llegar a la solución.
Lo
mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos presentan en la vida, antes
de llegar a la solución debemos alcanzar ciertas metas (p1,p2,....pn) hasta
llegar al objetivo o conclusión (q). Pero una vez que logramos el objetivo
debemos plantearnos nuevos objetivos que nos permitirán superarnos.
Dependiendo
del área de interés al estudiante puede transportad dichos conocimientos, de
tal manera que le auxilien para entender y resolver otro tipo de problemas. En
el caso de computación cada línea de un programa se obtiene inconcientemente
aplicando una regla de inferencia y por lo tanto cada instrucción tiene su
orden en que debe de ir colocada, si se cambia esa línea seguramente el
resultado ya no será igual. Pero hay tantas formas de resolver un problema por
medio de un programa como alumnos distintos tenga un maestro.
Una
demostración formal equivale a relacionar esquemas para formar estructuras
cognitivas. Sí el alumno sabe inferir soluciones lógicas, estará en
condiciones de resolver todo tipo de problemas.
Uno
de los objetivos principales del constructivismo, es la construcción del
conocimiento. El tema de “lógica matemática”, se presta para que el alumno
pueda realizar los relacionamientos entre las distintas proposiciones, esto
permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas ramas: matemáticas,
física, química pero también en las ciencias sociales y por su puesto
cualquier problema de la vida real. Porque cada vez que nos enfrentamos a un
problema, manipulamos la información por medio de reglas de inferencia que
aunque no estén escritas debemos respetar. Cada vez que realizamos una
actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá algunos realicen dicha
actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos más largos, pero al
fin de cuentas lo que importa es llegar al resultado. Si se le da la confianza
al alumno para que cree e innove, su estructura cognitiva seguramente va a
crecer.
Bibliografía.
|
Libro
|
Autor
|
Editorial
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Estructuras
de Matemáticas Discretas
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Bernard
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Matemáticas
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Richard
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Gpo.
Editorial Iberoamerica
|
Resumen:
Trabajo
que contiene los aspectos importantes en la lógica matemática, desde la
definición de proposición, tipos de operadores lógicos, tautología,
contradicción, proposiciones condicionales y bicondicionales, demostración
formal.
Palabras
clave:
Lógica
matemática, proposición, tautología, contradicción, operadores lógicos, unión,
intersección, complementación, proposición condicional, proposición
bicondicional, teoremas, hipótesis, demostración formal.
Trabajo
enviado por:
José Alfredo Jiménez Murillo.
e-mail:
ppalf@yahoo.com
Ma.
Aleida Hernández Yánez
e-mail:
aleidahy@yahoo.com
Alumnos
del Centro Interdisciplinario
De Investigación y Docencia en
Educación Técnica (CIIDET)
Querétaro Qro. México.