Indice
- Resumen:
- Asintotas
de una funcion racional.
- Bibliografias.
RESUMEN:
El estudio de las funciones representa un argumento muy
importante en los fenómenos físicos aplicados a la ingeniería.
Un reto pedagógico para el docente universitario, consiste
en transmitir conocimientos a través del gráfico, y si a este gráfico se le
conocen sus asíntotas, todo su estudio se facilita. En este trabajo
presentaremos de forma clara y pedagógica la obtención de asíntotas
funcionales para una curva.
Consideremos la función
.
Observando lo siguiente:
El comportamiento asintótico por la derecha es
,
respectivamente por la izquierda
La función
,
tiene dos asíntotas funcionales no rectilíneas.
Si se conoce las asíntotas de una función en estudio se
facilita.
Definición:
Sea
una
función real de variable real definida en el intervalo
o
respectivamente
,
tal que:
-
,
que satisface:
-
,
o respectivamente:
-
.
Entonces se dice que, para
(respectivamente:
),
la curva
es
una curva asintótica, o simplemente una asíntota para la curva
.
Por ejemplo, la función
,
definida en
.
Se puede escribir:
,
con:
,
.
La curva de ecuación:
,
es una asíntota parabólica para la función racional
.
Se define la distancia del punto
a
la curva
de
la siguiente manera:
Si F, es una recta
es
la medida del segmento perpendicular desde p hasta la recta.
I.
TEOREMA:
Si
,
es una asíntota para la curva
para
(respectivamente:
),
entonces se tiene :
,
.
Demostración:
Como
es
una asíntota para
se
tiene que:
,
con
si
el punto
y
por lo tanto el punto
es
de la forma
.
Por otra parte:
-
.
Como
.
-
De
(i) y (ii) se tiene:
Como
.
Entonces
,
las curvas
,
se
pegan asintóticamente
.
De particular importancia es el caso en el cual la curva
presenta
asíntotas rectilíneas. En tal caso se tiene:
con
,
respectivamente:
.
La recta
es
una asíntota para
(asíntota
rectilínea derecha) o respectivamente:
(asíntota
rectilínea izquierda). Cuando L, es una asíntota rectilínea derecha e
izquierda simultáneamente se dice que L es una asíntota rectilínea.
II.
TEOREMA:
La curva F, representada por la función
. Tiene a
lo más una asíntota rectilínea derecha (respectivamente izquierda).
Demostración:
Supongamos que F tiene una asíntota rectilínea
derecha de ecuación
.
Por (1) se tiene:
-
con
.
Supongamos
que F admite otra curva asintótica derecha, de ecuación:
-
con
.
De (i) y (ii) se tiene:
-
.
Y
se deduce que :
-
Garantizando la unicidad de la asíntota. La unicidad de la
asíntota izquierda se demuestra de forma análoga.
ASINTOTAS
DE UNA FUNCION RACIONAL.
Consideremos la función racional
.
Donde
y
son
polinomios con coeficientes reales en la variable "x", sí
y
son
respectivamente los polinomios cociente y resto de división de
y
,
se tiene:
-
.
Como
el grado del polinomio
es
inferior al grado del polinomio
se
tiene:
-
La ecuación
es
una curva asintótica para la función
,
tanto derecha como izquierda, es decir:
es
una asíntota.
Si
es
de grado "n" y de grado "n+1", entonces
es
de grado 1, y por lo tanto
es
una asíntota rectilínea.
Ejemplo:
La recta
es
una asíntota rectilínea para la función
.
III.
TEOREMA:
Toda función racional
tiene asíntota.
Demostración:
Sea n = grado del polinomio
;
m = grado del polinomio
:
- Si
,
por (1) se tiene que el grado del polinomio
es
,
y como se cumple (2) se tiene que el polinomio
de
grado
,
es una asíntota para la función
.
- Sí
,
Respectivamente:
La recta
es
una asíntota rectilínea para la función
- Si
.
La recta
es
una asíntota para la función
.
Con
y
coeficientes
principales de los polinomios.
Cuando
,
no es una función racional las cosas se complican al tratar de hacer la
descomposición (1), pero existe un criterio para la búsqueda de asíntotas
rectilíneas (derechas e izquierdas) para la función
.
,
(Respectivamente
).
La curva
,
admite una asíntota rectilínea derecha (respectivamente izquierda) de ecuación
,
basta observar que:
y hay que notar solamente que:
(respectivamente
).
EJEMPLO:
La función
,
tiene asíntota rectilínea derecha:
y
asíntota rectilínea izquierda:
.
EJEMPLO:
La recta
es
una asíntota rectilínea derecha.
La recta
es
una asíntota rectilínea izquierda.
y
.
(respectivamente
para
).
La curva
,
tiene una asíntota rectilínea derecha y dicha asíntota tiene por ecuación:
,
donde:
.
En efecto: Si la curva
admite
asíntota derecha, ésta tiene por ecuación:
y
se tiene:
con
.
Por lo tanto tenemos:
tomando límite:
y por lo tanto:
.
Por otra parte se tiene:
y
como
,
se tiene:
Este resultado constituye un método de cálculo para la asíntota.
EJEMPLO:
.
Las rectas
y
son
las asíntotas rectilíneas derechas e izquierdas respectivamente.
y
(respectivamente para
)
La curva
no
admite asíntota rectilínea derecha. De hecho, si la admitiera debería ser:
,
con
y
,
y esto es una contradicción ya que se tendría
y
.
Definición:
Sí
,
se dice que la recta
es
una asíntota vertical derecha.
Sí
,
la recta
es
una asíntota vertical izquierda.
Sí
,
es una asíntota vertical derecha e izquierda simultáneamente, se dice que es
una asíntota vertical.
IV.
TEOREMA:
Sea
una curva
que satisface:
o
(respectivamente
ó
)
Entonces, la recta L de ecuación
,
satisface:
(respectivamente:
);
con
.
Demostración:
Demostremos el teorema en el caso cuando
y
análogamente se razona cuando
.
Sabemos que:
y
por lo tanto el punto
es
de la forma:
.
En particular tomando el punto
,
se tiene:
;
y por lo tanto se tiene:
.
Sí
(respectivamente
),
se tiene:
,
y
se concluye que:
l.q.q.d.
Una función puede admitir infinitas asíntotas verticales.
Por ejemplo:
,
ya que:
y
Las rectas:
,
,
son asíntotas verticales para
.
BIBLIOGRAFIAS.
- Cipriano Cruz. Elementos de funciones Reales.
U.C.V. Facultad de Ingeniería 1.995.
- Arcos Robinson – Cruz Cipriano. ¿Qué puede
decirse acerca del gráfico de una función?. U.C.V. Facultad de
Ingeniería 1.986.
- Hernández Angela. Estudio de una Función
"Ejercicios de Análisis I". U.C.V. Facultad de Ingeniería
1.988.
- Spivak M. Cálculo Infinitesimal.
Autor:
Sabas Juan
532532@cantv.net