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Ingenieria Industrial Programacion Lineal en Investigacion de Operaciones (Academia de IO de la UPIICSA)
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Enviado por Ivan Escalona Moreno
Código ISPN de la Publicación: EpyuVkluEukPMSPxhA
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| Resumen: Programacion Lineal en Investigacion de Operaciones (Academia de IO de la UPIICSA). Ejercicios y respuestas de programacion lineal. |
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1. (Mezcla de Güisqui) Una compañía destiladora tiene dos grados de güisquien bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. Lamarca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II, mientras que lamarca súper consta de dos terceras parte del grado I y una tercera parte delgrado II. La compañía dispone de 3000 galones de grado I y 2000 galones delgrado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de$5, mientras que cada galón del súper produce una utilidad de $6 ¿Cuántosgalones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar susutilidades? | MARCAS | GRADO I | GRADO II | UTILIDAD | | REGULAR | 50% | 50% | $ 5 | | SÚPER | 75% | 25% | $ 6 | Solución:
¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de güisqui de la marca regular en galones
x2 = la Cantidad de güisqui de la marca súper en galones
Max Z = 5x1 6x2 …….(1)
Sujetos a:
1500x1 1000x2 < 3000 …….. (2)
2250x1 500x2 < 2000 ……….(3) lo que quedaPlanteado
x1, x2 > 0 2. (Mezcla) Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezclamás barata contiene un 80% de cacahuates y un 20% de nueces, mientras que las máscara contiene 50% de cada tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos decacahuates y 1200 kilos de nueces de sus fuentes de suministros. ¿Cuántoskilos de cada mezcla debería producir a fin de maximizar las utilidades si lasganancias son de $ 10 por cada kilo de la mezcla más barata y de $ 15 por cadakilo de la mezcla más cara? | MEZCLA | CACAHUATE | NUEZ | GANANCIA POR SEMANA | | BARATA | 80% | 20% | $10 POR KILO | | CARA | 50% | 50% | $ 15 POR KILO | Solución:
¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de mezcla de la marca BARATA en kilogramos
x2 = la Cantidad de mezcla de la marca CARA en kilogramos
Max Z = 10x1 15x2 …….(1)
Sujetos a:
1440x1 240x2 < 1800 …….. (2)
900x1 600x2 < 1200 ……….(3) lo que quedaPlanteado
x1, x2 > 0 3. (Dediciones sobre producción) Una compañía produce dos productos, A yB. Cada unida de A requiere 2 horas en cada máquina y 5 horas en una segunda máquina.Cada unidad de B demanda 4 horas en la primera máquina y 3 horas en la segundamáquina. Se dispone de 100 horas a la semana en la primera máquina y de 110horas en la segunda máquina. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 porcada unidad de A y $50 por cada unidad de B ¿Cuánto deberá de producirse decada unidad con objeto de maximizar la utilidad total? | PRODUCTO | HRS MÁQUINA 1 | HRS MÁQUINA 2 | UTILIDAD | | A | 2 | 5 | $ 70 POR KILO | | B | 4 | 3 | $50 POR KILO | Solución:
¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de producción de A en unidades
x2 = la Cantidad de producción de B en unidades
Max Z = 70x1 50x2 …….(1)
Sujetos a:
2x1 4x2 < 100 ……... (2)
5x1 3x2 < 110 ……….(3) lo que quedaPlanteado
x1, x2 > 0 4. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio anterior, suponga que serecibe una orden por 14 unidades de A a la semana. Si la orden debe cumplirse,determine el nuevo valor de la utilidad máxima.
Solución:
¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de producción de A en unidades
x2 = la Cantidad de producción de B en unidades
Max Z = 70x1 50x2 …….(1)
Sujetos a:
2x1 4x2 < 100 …….. (2)
5x1 3x2 < 110 ……….(3) lo que quedaPlanteado
x1, x2 > 0 5. (Decisiones sobre Producción). Un fabricante produce dos productos, A yB, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres máquina, como se indica acontinuación: | PRODUCTO | HRS MÁQUINA 1 | HRS MÁQUINA 2 | HRS MÁQUINA 3 | UTILIDAD | | A | 2 | 4 | 3 | $250 POR KILO | | B | 5 | 1 | 2 | $300 POR KILO | Si los número de horas disponibles en las máquinas al mes son 200, 240 y190 en el caso de la primera, segunda y tercera, respectivamente, determine cuántasunidades de cada producto deben producirse a fin de maximizar la utilidad total.
Solución:
¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de producción de A en unidades
x2 = la Cantidad de producción de B en unidades
Max Z = 250x1 300x2 …….(1)
Sujetos a:
2x1 5x2 < 200 ……... (2)
4x1 1x2 < 240 ……...(3)
3x1 2x2 < 190 ........... (4) lo que quedaPlanteado
x1, x2 > 0 6. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio anterior, suponga que unarepentina baja en la demanda del mercado del producto A obliga a la compañía aincrementar su precio. Si la utilidad por cada unidad de A se incrementa a $600,determine el nuevo programa de producción que maximiza la utilidad total.
Solución: | PRODUCTO | HRS MÁQUINA 1 | HRS MÁQUINA 2 | HRS MÁQUINA 3 | UTILIDAD | | A | 2 | 4 | 3 | $600 POR KILO | | B | 5 | 1 | 2 | $300 POR KILO | ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de producción de A en unidades
x2 = la Cantidad de producción de B en unidades
Max Z = 250x1 300x2 …….(1)
Sujetos a:
2x1 5x2 < 200 ……... (2)
4x1 1x2 < 240 ……...(3)
3x1 2x2 < 190 ........... (4) lo que quedaPlanteado
x1, x2 > 0 7. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio 5, suponga que elfabricante es forzado por la competencia a reducir el margen de utilidad delproducto B. ¿Cuánto puede bajar la utilidad de B antes de que el fabricantedeba cambiar el programa de producción? (El programa de producción siempredebe elegirse de modo que maximice la utilidad total).
Solución: | PRODUCTO | HRS MÁQUINA 1 | HRS MÁQUINA 2 | HRS MÁQUINA 3 | UTILIDAD | | A | 2 | 4 | 3 | $600 POR KILO | | B | 5 | 1 | 2 | $ X POR KILO | ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de producción de A en unidades
x2 = la Cantidad de producción de B en unidades
pero en éste caso, debemos tomar en cuenta que se debe minimizar, ahora laUTILIDAD del PRODUCTO B, pues bien, se reduce la mitad de la utilidad por lotanto queda:
Max Z = 250x1 150x2 …….(1)
(El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice lautilidad total).
Sujeto a:
2x1 5x2 < 200 ……... (2)
4x1 1x2 < 240 ……...(3)
3x1 2x2 < 190 ........... (4) lo que quedaPlanteado
x1, x2 > 0 8. (Decisiones sobre inversión) Un gerente de Finanzas tiene $ 1 ´106 de un fondo de pensiones, parte de cual debe invertirse. Elgerente tiene dos inversiones en mente, unos bonos conversadores que producen un6% anual y unos bonos hipotecarios más efectivo que producen un 10% anual. Deacuerdo con las regulaciones del gobierno, no más del 25% de la cantidadinvertida puede estar en bonos hipotecarios. Más aún, lo mínimo que puedeponerse en bonos hipotecarios es de 0,000. Determine las cantidades de la dosinversiones que maximizarán la inversión total.
Solución:
¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de la inversión en bonos conservadores
x2 = la Cantidad de la inversión en bonos hipotecarios
Max Z = x1 x2 …….(1)
Sujetos a:
(0.06)(1,000,000)x1 (0.1)(1,000,000)x2 <(1,000,000)(0.25) ……... (2)
x2 > 100,000 ……... (3)
x1, x2 > 0 9. (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjero tiene 100 acre piesen los cuales puede sembrar dos cultivos. Dispone de $ 3000 a fin de cubrir elcosto del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 horas-hombredestinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra lossiguientes datos por acre: | CULTIVOS | COSTO DE PLANTAR | DEMANDA HORAS-HOMBRE | UTILIDAD | | PRIMERO | $20 | 5 | $ 100 | | SEGUNDO | $40 | 20 | $ 300 | Solución:
¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de producción del PRIMER CULTIVO en acre pies
x2 = la Cantidad de producción del SEGUNDO CULTIVO en acre pies
Max Z = 100x1 300x2 …….(1)
(El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice lautilidad total).
Sujeto a:
x1 x2 < 100 ......... (2) esta ecuación sedebe a que sólo tiene 100 acre pies para los cultivos
5x1 20x2 < 1350…... (3)
20x1 40x2 < 3000 ......(4) lo que quedaPlanteado
x1, x2 > 0 10. (Decisiones sobre plantación de cultivos) En el ejercicio anterior,determine la porción del terreno que deberá plantearse con cada cultivo si lautilidad por concepto del segundo cultivo sube a $ 450 por acre.
Solución: | CULTIVOS | COSTO DE PLANTAR | DEMANDA HORAS-HOMBRE | UTILIDAD | | PRIMERO | $20 | 5 | $ 100 | | SEGUNDO | $40 | 20 | $ 450 | ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de producción del PRIMER CULTIVO en acre pies
x2 = la Cantidad de producción del SEGUNDO CULTIVO en acre pies
Max Z = 100x1 450x2 …….(1)
(El programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice lautilidad total).
Sujeto a:
5x1 20x2 < 1350…... (2)
20x1 40x2 < 3000 ......(3) lo que quedaPlanteado
x1, x2 > 0 11. (Planeación dietética) La dietista de un hospital debe encontrar lacombinación más barata de dos productos, A y B, que contienen: - al menos 0.5 miligramos de tiamina
- al menos 600 calorías
| PRODUCTO | TIAMINA | CALORIAS | | A | 0.2 mg | 100 | | B | 0.08 mg | 150 | Solución:
Variables:
x1 = la Cantidad mas Barata del producto A
x2 = la Cantidad mas Barata del Producto B
Max Z = x1 x2 …….(1)
Sujeto a:
0.2x1 0.08x2 > 0.5…... (2) (al menos)
100x1 150x2 > 150 ......(3) lo que quedaPlanteado
x1, x2 > 0 12. (Putificación del mineral) Una compañía posee dos minas, P y Q. En elcuadro siguiente se muestra la producción de los elementos por cada toneladaproducida por ambas minas respectivamente: | MINAS | COBRE | ZINC | MOLIBDENO | COSTO POR TON. DE OBTENCIÓN DE MINERAL | | P | 50 lb | 4 lb | 1 lb | $ 50 | | Q | 15 lb | 8 lb | 3 lb | $ 60 | La compañía debe producir cada semana, al menos las siguientes cantidadesde los metales que se muestran a continuación: - 87,500 libras de cobre
- 16,000 libras de zinc
- 5,000 libras de molibdeno
¿Cuánto mineral deberá obtenerse de cada mina con objeto de cumplir losrequerimientos de producción a un costo mínimo?
Solución:
Variables:
x1 = la Cantidad de Mineral de la MINA P en libras
x2 = la Cantidad de Mineral de la MINA Q en libras
Max Z = 50x1 60x2 …….(1)
50x1 15x2 < 87,500 ......... (2) (COBRE)
4x1 8x2 < 16,000…... (3) (ZINC)
x1 3x2 < 5000 ......(4) (MOLIBDENO)
x1, x2 > 0 lo que queda planteado 13. (Espacio de Almacenamiento) La bodega de un depa, de química industrial,almacena, al menos 300 vasos de un tamaño y 400 de un segundo tamaño. Se hadecidido que el número total de vasos almacenados no debe exceder de 1200.Determine la cantidades posibles de estos dos tipos de vasos que puedenalmacenarse y muéstrelo con un gráfica.
Solución:
Variables:
x1 = la Cantidad de vasos de primer tamaño
x2 = la Cantidad de vasos de segundo tamaño
Max Z = x1 x2 …….(1)
Sujeto a:
x1 > 300…... (2) (al menos)
x2 > 400 ......(3)
x1 x2 < 1200 .......(4)
x1, x2 > 0 14. (Espacio de Almacenamiento) En el ejercicio anterior, supongamos que losvasos del primer tamaño ocupan 9 in2 del anaquel y los del segundo 6in2. El área total de anaqueles disponibles para almacenar es a losumo de 62.8 ft2. Determine las cantidades posibles de los vasos y muéstrelocon una gráfica.
Solución:
Variables:
x1 = la Cantidad de vasos de primer tamaño
x2 = la Cantidad de vasos de segundo tamaño
Max Z = x1 x2 …….(1)
Sujeto a:
x1 > 300…... (2) (al menos)
x2 > 400 ......(3)
x1 x2 < 1200 .......(4)
9x1 6x2 < 62.8 .......(5)
x1, x2 > 0 15. (Planeación Dietética) Una persona está pensando reemplazar en sudieta de la carne por frijoles de soya. Una onza de carne contiene un promediode casi de 7 gramos de proteína mientras que una onza de frijoles de soya(verde) contiene casi 3 gramos de proteína. Si requiere que si consumo de proteínadiaria que obtiene de la carne y de los frijoles de soya combinados debe ser almenos de 50 gramos. ¿Qué combinación de éstos nutrientes formarán un dietaaceptable?
Solución:
Variables:
x1 = la Cantidad de Carne
x2 = la Cantidad de Frijoles de Soya
Min Z = x1 x2 …….(1)
Sujeto a:
7x1 3x2 > 50 .......(5)
x1, x2 > 0 16. (Ecología) Un estanque de peces los abastecen cada primavera con dosespecias de peces S y T. Hay dos tipos de comida F1 y F2disponibles en el estanque. El peso promedio de los peces y el requerimientodiario promedio de alimento para cada pez de cada especia está dado en elcuadro siguiente: | especies | F1 | F2 | Peso Promedio | | S | 2 Unidades | 3 Unidades | 3 libras | | T | 3 Unidades | 1 Unidades | 2 libras | If there are six hundred of F1 and three hundred of F2everyday. How do you debit supply the pool for what the total weight of fishesare at least 400 pounds? Solución:
¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE S) en Primaveraen Unidades
x2 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE T) en Primaveraen Unidades
Max Z = x1 x2 …….(1)
Sujetos a:
2x1 3x2 < 600 …….. (2)
3x1 1x2 < 300 ……….(3)
3x1 2x2 > 400 lo que queda Planteado
x1, x2 > 0 17. Un granjero tiene 200 cerdos que consumen 90 libras de comida especialtodos los días. El alimento se prepara como una
mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones:
Libras por Libra de Alimento | Alimento | Calcio | Proteína | Fibra | Costo ($/lb) | | Maíz | 0.001 | 0.09 | 0.02 | 0.2 | | Harina de Soya | 0.002 | 0.6 | 0.06 | 0.6 | Los requisitos de alimento de los cerdos son: - Cuando menos 1% de calcio
- Por lo menos 30% de proteína
- Máximo 5% de fibra
Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por día
Solución:
¿Qué es lo que vamos a Minimizar?
x1 = la Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento
x2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento
Min Z = 0.2x1 0.6x2 …….(1)
Sujetos a:
0.001x1 0.002x2 < (90)(0.01) …….. (2)
0.09x1 0.6x2 < (90)(0.3) ……….(3)
0.02x1 0.06x2 > (90)(0.05) .......... (4) loque queda Planteado
x1, x2 > 0 18. Un pequeño banco asigna un máximo de $20,000 para préstamos personalesy para automóviles durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interésanual del 14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil.Ambos tipos de préstamos se saldan en periodos de tres años. El monto de lospréstamos para automóvil desde ser cuando menos de dos veces mayor que el delos préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudosno cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales ¿Cómo debenasignarse los fondos?
Solución:
¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad Fondos de préstamos personales
x2 = la Cantidad fondos de préstamos para automóvil
Min Z = 0.2x1 0.6x2 …….(1)
Sujetos a:
(0.14)(20,000)x1 (0.12)(20,000)x2 < 20000…….. (2)
x2 > (2)(0.14)(20,000) ……….(3)
x1 > (0.01)(0.12)(20,000) .......... (4) lo que quedaPlanteado
x1, x2 > 0 19. Una planta armadora de radios produce dos modelos HiFi-1 y HiFi-2 en lamisma línea de ensamble. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Lostiempos de ensamble en la estaciones de trabajo son: | | Minutos por Unidad de | Minutos por Unidad de | | Estación de Trabajo | HiFi-1 | HiFi-2 | | 1 | 6 | 4 | | 2 | 5 | 5 | | 3 | 4 | 6 | Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos pordía. Sin embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, quecontribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se disponediariamente para las estaciones 1, 2 y 3 respectivamente. La compañía deseadeterminar las unidades diarias que se ensamblarán de HiFi-1 y HiFi-2 a fin deminimizar la suma de tiempos no usados (inactivos) en la tres estaciones.
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar?
x1 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 1
x2 = la Cantidad de Unidades Diarias de HiFi - 2
Min Z = x1 x2 …….(1)
Sujetos a:
6x1 4x2 < (0.1)(480) …….. (2)
5x1 5x2 < (0.14)(480) ……….(3)
4x1 6x2 > (0.12)(480) .......... (4) lo quequeda Planteado
x1, x2 > 0 20. Una compañía de productos electrónicos, produce dos modelos de radio,cada uno en una línea de producción de volumen diferente. La capacidad diariade la primera línea es de 60 unidades y la segunda es de 75 radios. Cada unidaddel primer modelos utiliza 10 piezas de ciertos componente electrónicos, entanto que cada unidad del segundo modelos requiere ocho piezas del mismocomponente. La disponibilidad diaria máxima del componente especial es de 800piezas. La ganancia por unidad de modelos 1 y 2 es $30 y $ 20, respectivamente.Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio.
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de producción del modelo 1 de Radio
x2 = la Cantidad de producción del modelo 2 de Radio
Max Z = 30x1 20x2 …….(1)
Sujetos a:
x1 < 60 …….. (2)
10x1 8x2 < 800 ……….(3)
x2 < 75 .......... (4) lo que queda Planteado
x1, x2 > 0 21. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquina.El tiempo por máquina asignado a los productos está limitado a 10 horas por día.El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto son:
Minutos Por Unidad | Producto | Máquina 1 | Máquina 2 | Máquina 3 | Ganancia | | 1 | 10 | 6 | 8 | $2 | | 2 | 5 | 20 | 15 | $3 | Nota: Determine la combinación óptima de los productos. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Minimizar?
x1 = la Cantidad de Unidades del Producto 1
x2 = la Cantidad de Unidades del Producto 2
Min Z = 2x1 3x2 …….(1)
Sujetos a:
10x1 5x2 < 10 …….. (2)
6x1 20x2 < 10 ……….(3)
8x1 15x2 < 10 .......... (4) lo que quedaPlanteado
x1, x2 > 0 22. Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estacionesde radio y televisión locales. Su presupuesto limita los gastos de publicidadde $1000 por mes cada minutos de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto depublicidad en televisión cuesta $100. La compañía desearía utilizar la radiocuando menos dos veces más que la televisión. La experiencia pasada muestraque cada minuto de publicidad por televisión generará en términos generales25 más venta que cada minutos de publicidad por la radio. Determine la asignaciónóptima del presupuesto mensual por anuncios por radio y televisión.
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Radio
x2 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Televisor
Max Z = x1 x2 …….(1)
Sujetos a:
5x1 100x2 < 1000 …….. (2)
x2 > (2)(x1)
x1 > (25)(x2) ……….(3)
x1, x2 > 0 23. Una compañía elabora dos productos: A y B. El volumen de ventas delproducto A es cuando menos el 60% de las ventas totales de los dos productos.Ambos productos utilizan la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria estálimitada a 100 lb. Los productos A y B utilizan esta materia prima en los índiceso tasas de 2 lb/unidad y 4 lb/unidad, respectivamente. El precio de venta de losproductos es $20 y $40 por unidad. Determine la asignación óptima de lamateria prima a los dos productos.
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de Unidades del Producto A
x2 = la Cantidad de Unidades del Producto B
Max Z = 20x1 40x2 …….(1)
Sujetos a:
2x1 4x2 < 100 …….. (2)
x1 > (0.6)(60) ……….(3)
x1, x2 > 0 24. Una compañía elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primertipo requiere dos veces más tiempo de manos de obra que un producto del segundotipo. Si todos los sobreros son exclusivamente del segundo tipo. La compañíapuede producir un total de 500 unidades al día. El mercado limita las ventasdiarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngase que laganancia que se obtiene por producto es $8 por el tipo 1 y $5 para el tipo 2.Determine el número de sobreros de cada tipo que debe elaborarse para maximizarla ganancia.
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 1
x2 = la Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 2
Max Z = 8x1 5x2 …….(1)
Sujetos a:
150x1 200x2 < 500 …….. (2)
x1 > (2)(200) ……….(3)
x1, x2 > 0 25. Una empresa pequeña, cuenta con dos máquina para elaborar dosproductos. Cada producto tiene que pasar por la máquina A y después por la máquinaB. El producto 1 requiere 3 horas de la máquina A y 2 de la máquina B,mientras que el producto 2 requiere 1 hora de la máquina A y 2 horas de la máquinaB. La capacidad de las máquina A y B son 500 y 650 horas semanalesrespectivamente. El producto a deja 350 pesos y el segundo producto B deja 600pesos por utilidades. Analice usted la situación de la operación de esta, dadoque por escasez de materia prima no puede producir más de 21 unidades delproducto.
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de Unidades del Producto A
x2 = la Cantidad de Unidades del Producto B
Max Z = 350x1 600x2 …….(1)
Sujetos a:
3x1 1x2 < 500 …….. (2)
2x1 2x2 < 650 …….. (3)
x1 x2 < 21 ……...….(4)
x1, x2 > 0 26. el grupo "IMPEXA", desea hacer publicidad para su productos entres diferentes medios: radio, televisión y revista. El objetivo principal esalcanzar tantos clientes como sea posible. Han realizado un estudio y elresultado es: | | Durante el día | Durante la noche | Radio | Revistas | | Número de clientes potenciales que puede alcanzar por unidades de publicidad | 450,000 | 800,000 | 675,000 | 200,000 | | | 500,000 | 1,000,000 | 650,000 | 250,000 | "IMPEXA" no quiere gastar más de $1,200,00. Además en publicidadpor televisión no desean gastar más de 750 mil pesos. Se desean comprar tresunidades de televisión durante el día y 2 unidades durante la noche. Planteeel problema como un modelo de programación lineal.
Solución:
¿Qué es lo que vamos a MAXIMIZAR?
x1 = la Cantidad de clientes Potenciales por día
x2 = la Cantidad de clientes Potenciales por noche
x3 = la Cantidad de clientes por Radio
x4 = la Cantidad de clientes por revistas
Max Z = x1 x2 x3 x4…….(1)
Sujetos a: (RESTRICCIONES DE BALANCE)
x1 x2 x3 x4 <1,200,000
x1 x2 < 750,000
x1 > 450,000
x1 < 500,000
x2 > 800,000
x2 < 1,000,000
x3 > 375,000
x3 < 650,000
x4 > 200,000
x4 < 250,000
3x1 < 2x2 27. La señora Morales tiene una dieta a seguir, la cual reúne lossiguientes requisitos alimenticios. - Al menos 4 mg. de vitamina A
- Al menos 6 mg. de vitamina B
- A lo más 3 mg. de vitamina D
Así mismo, la dieta está formada por pan, queso, buebo, y carne. La tablasiguiente nos da los requerimientos por vitamina en mg. así como el costo:
Contenido en mg por gramo de producto | PRODUCTO | COSTO | VITAMINA A | VITAMINA B | VITAMINA D | | PAN QUESO BUEBOS CARNE | 40 31 19 53 | 0.20 0.15 0.15 0.30 | 0.18 0.10 0.40 0.35 | 0.10 0.14 0.15 0.16 | Solución:
¿Qué es lo que vamos a Minimizar?
x1 = la Cantidad a comprar de PAN
x2 = la Cantidad a comprar de QUESO
x3 = la Cantidad a comprar de HUEVO
x4 = la Cantidad a comprar de CARNE
Min W = 40x1 31x2 19x3 53x4…….(1)
Sujetos a:
0.20x1 0.15x2 0.15x3 0.30x4 >4
0.18x1 0.10x2 0.40x3 0.35x4 >6
0.10x1 0.14x2 0.15x3 0.16x4 >3
x1, x2, x3, x4 > 0 28. (Inversiones) A Julio que es asesor de inversiones, se le presentan 4proyectos con sus respectivos costos en un período de tres años, así como lautilidad total. El requiere maximizar la utilidad total disponiendo de $50,000;$24,000; y $30,000 en cada uno de los años siguientes: | PROYECTO | UTILIDAD TOTAL | COSTO AÑO 1 | COSTO AÑO 2 | COSTO AÑO 3 | | X1 X2 X3 X4 | 100 90 75 80 | 6 2 9 5 | 14 8 19 2 | 5 14 18 9 | Solución:
¿Qué es lo que vamos a Minimizar?
x1 = la Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento
x2 = la Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento
Min Z = 0.2x1 0.6x2 …….(1)
Sujetos a:
0.001x1 0.002x2 < (90)(0.01) …….. (2)
0.09x1 0.6x2 < (90)(0.3) ……….(3)
0.02x1 0.06x2 > (90)(0.05) .......... (4) loque queda Planteado
x1, x2 > 0 Disponibilidad:
Las cantidades disponibles por año se asignan a las diferentes variables oproyectos bajo estas restricciones para optimizar o
maximizar la utilidad total. 29. Supóngase que el Banco de Crédito al Campesino tiene dos planes deinversión a saber: El primero en el programa de tierras de riego, el segundo enel programa de tierras de temporal. El primer programa regresa un 30% de lainversión al fin del año, mientras que el segundo plan regresa un 65% de lainversión, para el término de dos años. Los intereses recibidos en ambosplanes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Formule elprograma lineal que le permita al banco maximizar la inversión total en unsexenio, si la inversión es de $ 100 millones.
Solución:
¿Qué es lo que vamos a MAXIMIZAR?
xiR = la Cantidad de inversión de riesgo a una año i
xiT = la Cantidad de inversión Temporal en 2 años i
donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Max Z = x1 x2 x3 x4…….(1)
Sujetos a: (RESTRICCIONES DE BALANCE)
x1R x1T < 100,000
x2R x2T < 1.30x1R
x3R x3T < 1.30x2R 1.65x1T
x4R x4T < 1.30x3R 1.65x2T
x5R x5T < 1.30x4R 1.65x3T
x6R < 1.30x5R 1.65x4T
x1T, xR > 0 30. Una compañía de perfumes puede anunciar su producto mediante el uso deestaciones de radio y televisión. Su presupuesto limita los gastos depublicidad a $1,500 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $15 ycada minuto de publicidad en televisión cuesta $90. La compañía desearíautilizar la radio cuando menos dos veces más que la televisión. Los datos históricosmuestran que cada minuto de publicidad por televisión generará en términosgenerales 30 veces más ventas que cada minuto de publicidad por radio.Determine la asignación óptima del presupuesto mensual para anuncios por radioy televisión.
Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Radio
x2 = la Cantidad de presupuesto mensual para el Televisor
Max Z = x1 x2 …….(1)
Sujetos a:
15x1 90x2 < 1500 …….. (2)
x2 > (2)(x1)
x1 > (30)(x2) ……….(3)
x1, x2 > 0 31. Una Tienda de animales ha determinado que cada Hámster deberíarecibirla menos 70 unidades de proteína. 100 unidades de carbohidratos y 20unidades de grasa. Si la tienda vende los seis tipos de alimentos mostrados enla tabla. ¿Qué mezcla de alimento satisface las necesidades a un costo mínimopara la tienda? | Alimento | Proteínas (Unidades / Onza) | Carbohidratos (Unidades / Onza) | Grasa (Unidades / Onza) | Costo (Onza) | | A B C D E F | 20 30 40 40 45 30 | 50 30 20 25 50 20 | 4 9 11 10 9 10 | 2 3 5 6 8 8 | Solución:
¿Qué es lo que vamos a Minimizar?
x1 = la Cantidad a mezclar de A
x2 = la Cantidad a mezclar de B
x3 = la Cantidad a mezclar de C
x4 = la Cantidad a mezclar de D
x5 = la Cantidad a mezclar de E
x6 = la Cantidad a mezclar de F
Min W = 2x1 3x2 5x3 6x4 8x5 8x6…….(1)
Sujetos a:
20x1 30x2 40x3 40x4 45x5 30x6 < 70 ......... PROTEÍNA
50x1 30x2 20x3 25x4 50x5 20x6 < 100 ------ CARBOHIDRATOS
4x1 9x2 11x3 10x4 9x5 10x6 < 20 ---------- GRASA
x1, x2, x3, x4 > 0 32. Una compañía manufacturera local produce cuatro deferentes productosmetálicos que deben maquinarse, pulirse y ensamblarse. La necesidades específicasde tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes: | | Maquinado | Pulido | Ensamble | | Producto I Producto II Producto III Producto IV | 3 2 2 4 | 1 1 2 3 | 2 1 2 1 | La compañía dispone semalmente de 480 horas para maquinado, 400 horas parael pulido y 400 horas para el ensamble. Las ganancias unitarias por producto son$6, $4, $6 y $8 respectivamente. La compañía tiene un contrato con undistribuidor en el que se compromete a entregar semanalmente 50 unidades delproducto 1 y 100 unidades de cualquier combinación de los productos II y III,según sea la producción, pero sólo un máximo de 25 unidades del producto IV.¿cuántas unidades de cada producto debería fabricar semanalmente la compañíaa fin de cumplir con todas las condiciones del contrato y maximizar la gananciatotal?
Considere que las piezas incompletas como un modelo de Programación Lineal.
Solución:
¿Qué es lo que vamos a Minimizar?
x1 = la Cantidad a fabricar del producto I
x2 = la Cantidad a fabricar del producto II
x3 = la Cantidad a fabricar del producto III
x4 = la Cantidad a fabricar del producto IV
Min W = 6x1 4x2 6x3 8x4…….(1)
Sujetos a:
3x1 2x2 2x3 4x4 <480
1x1 1x2 2x3 3x4 <400
2x1 1x2 2x3 1x4 <400
x1 > 50
x2 x3 > 100
x4 < 25
x1, x2, x3, x4 > 0 33. Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos máquina. Los tiemposde manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan a continuaciónpara las dos máquinas: | Máquina | Producto 1 | Producto 2 | Producto 3 | Producto 4 | | 1 2 | 2 3 | 3 2 | 4 1 | 2 2 | El costo total de producir una unidad de cada producto está basadodirectamente en el tiempo de máquina. Suponga que el costo por hora para las máquina1 y 2 es $10 y $15. Las horas totales presupuestadas para todos os productos enlas máquina 1 y 2 son 500 y 380. si el precio de venta por unidad para losproductos 1, 2, 3 y 4 en $65, $70, $55 y $45, formule el problema como modelo deprogramación lineal para maximizar el beneficio neto total.
Solución:
¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
x1 = la Cantidad a fabricar del producto 1
x2 = la Cantidad a fabricar del producto 2
x3 = la Cantidad a fabricar del producto 3
x4 = la Cantidad a fabricar del producto 4
Max W = 65x1 70x2 55x3 45x4…….(1)
Sujetos a:
2x1 3x2 4x3 2x4 <500
3x1 2x2 1x3 2x4 <380
x1, x2, x3, x4 > 0 34. La compañía Delta tiene maquinaria especializada en la industria de plástico.La compañía se dispone a iniciar operaciones el próximo mes de enero y cuentacon $300,000 y diez máquinas. La operación de cada máquina requiere de$4,000.00 al inicio de una mes para producir y al fin del mes la cantidad de$9,000.00 sin embargo, para cada dos máquinas se necesita un operador cuyosueldo mensual es de $3000.00 pagando al principio del mes. La compañía sepropone planear su producción, empleo de operador y compra de maquinaria quedebe tener, al principio del mes siete, al máximo número de máquina enoperación.
Al principio de cada mes la compañía tiene disponibles tres alternativas paraadquirir maquinaria. En la primera alternativa puede comprar máquina de$20,000.00 cada una con un periodo de entrega de una mes. Esto es, si alprincipio de cada mes "t" se pide y paga la maquinaria, está seentregará al principio del mes t 1.
En la segunda alternativa, se puede comprar en $15,000.00 cada maquinaria, peroel periodo de entrega es en dos meses. La última alternativa s comprar en$10,000.00 cada máquina con un periodo de entrega en tres meses.
Formule un modelo de programación lineal que permita determinar la política decompra de maquinaria, producción y pago de operadores en cada mes, de maneratal que al principio del mes siete tenga el máximo número de máquina enoperación.
Solución:
¿Qué es lo que vamos a Minimizar?
x1 = la Cantidad a fabricar del producto I
x2 = la Cantidad a fabricar del producto II
x3 = la Cantidad a fabricar del producto III
x4 = la Cantidad a fabricar del producto IV
Min W = 6x1 4x2 6x3 8x4…….(1)
Sujetos a:
3x1 2x2 2x3 4x4 <480
1x1 1x2 2x3 3x4 <400
2x1 1x2 2x3 1x4 <400
x1 > 50
x2 x3 > 100
x4 < 25
x1, x2, x3, x4 > 0 35. Una compañía de productos químicos que labora las 24 horas del díatiene las siguientes necesidades de personal técnico y especializado | Periodo | Hora del día | Personal técnico | Personal Especializado | | 1 2 3 4 5 6 | 6 – 10 10 –14 14 – 18 18 –22 22 – 02 02 - 06 | 20 40 80 45 25 10 | 8 12 15 9 3 2 | Observe que el periodo 1 sigue al periodo 6. Considere que cada persona en lacompañía labora 8 horas consecutivas. Suponga que Xt y Zt,denotan el número de personas técnicas y especializadas, respectivamente, queempiezan a trabajar al inicio del periodo t en cada día. En esta compañía, elacuerdo sindical establece que en todo momento debe haber por lo menos tresveces el número de personal técnico que de personal especializado. Establezcaun modelo de programación lineal pata determinar el mínimo número de personaltécnico y especializado para satisfacer las necesidades diarias de trabajo enel compañía.
Solución:
xiR = la Cantidad de personal técnico
xiT = la Cantidad de personalidad especializado
donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Min Z = x1 x2
Sujetos a:
20x1 8x2 > 60
40x1 12x2 > 120
80x1 15x2 > 240
45x1 9x2 > 3(45)
25x1 3x2 > 75
10x1 2x2 > 30 36. Ferrocarriles Nacionales de México tiene al inicio del próximo año lasiguiente demanda de locomotoras diesel para ocupar su sistema en todo el país: | Trimestre | 1 | 2 | 3 | | | Locomotoras Diesel | 750 | 800 | 780 | | La gerencia de ferrocarriles puede satisfacer su demanda mediante lacombinación de las siguientes alternativas: - Uso de la existencia de locomotoras diesel en estado de trabajo
- Compra de locomotoras al extranjero las cuales pueden entregarse al principio de cualquier trimestre
- Reparar locomotoras en los talleres nacionales con carácter normal. El tiempo re reparación es de 6 meses.
- Reportar locomotoras en los talleres nacionales con carácter urgente. El tiempo de reparación es de 3 meses.
La alternativa b tiene un costo de $5,000,000 por locomotora
La alternativa c tiene un costo de $100,000 por locomotora
La alternativa d tiene un costo de $250,000 por locomotora
Se estima que al principio del año se tendrán 650 locomotora en estado detrabajo y el presupuesto de operación para ese año es de $100,000,000entregado en partidas trimestrales de 40, 30, 20 y 10 millones respectivamente.
Se supone que al final de cada trimestre el 5% de las locomotoras debemantenerse a reparación y el 5% quedan fuera de servicio. Formule un problemade programación lineal que permita determinar la combinación de políticas quedebe tomar en cuenta la gerencias de F.F.C.C. para minimizar costos y satisfacerla demanda de locomotoras.
Solución:
¿Qué es lo que vamos a Minimizar?
x1 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 1
x2 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 2
x3 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 3
Min W = 5,000,000x1 100,000x2 250,000x3…….(1)
Sujetos a:
x1 x2 x3 < 100,000,000
750x1 800x2 780x3 > 650
x1 > (0.05)(750)
x2 > (0.05)(800)
x3 > (0.05)(780)
x1, x2, x3, x4 > 0 Bibliografía y WEB:
Ingeniería de métodos
http://www.monografias.com/trabajos12/ingdemet/ingdemet.shtml
Ingeniería de Medición
http://www.monografias.com/trabajos12/medtrab/medtrab.shtml
Contrato individual de trabajo
http://www.monografias.com/trabajos12/contind/contind.shtml
Control de Calidad, Orígenes y evolución de la calidad, El Control Estadísticoy la mejora de procesos
http://www.monografias.com/trabajos11/primdep/primdep.shtml
Investigación de mercados, Tipos de Investigación, Proceso de investigaciónde mercadotecnia
http://www.monografias.com/trabajos11/invmerc/invmerc.shtml
Análisis Sistemático de la Producción 1
http://www.monografias.com/trabajos12/andeprod/andeprod.shtml
Aplicaciones del tiempo estándar en la Tutsi
http://www.monografias.com/trabajos12/ingdemeti/ingdemeti.shtml
Átomo
http://www.monografias.com/trabajos12/atomo/atomo.shtml
Gráficos de Control de Shewhart
http://www.monografias.com/trabajos12/concalgra/concalgra.shtml
Distribución de Planta
http://www.monografias.com/trabajos12/distpla/distpla.shtml
Curso de Fisicoquímica
http://www.monografias.com/trabajos12/fisico/fisico.shtml
Prácticas de Laboratorio de Electricidad de Ingeniería
http://www.monografias.com/trabajos12/label/label.shtml
Glaxosmithkline - Aplicación de los resultados del Tiempo Estándar
http://www.monografias.com/trabajos12/immuestr/immuestr.shtml
Problemas de Física de Resnick, Halliday, Krane
http://www.monografias.com/trabajos12/resni/resni.shtml
Exámenes de Álgebra Lineal
http://www.monografias.com/trabajos12/exal/exal.shtml Trabajo enviado por:
Iván Escalona Moreno
Ocupación: Estudiante
Materia: Investigación de Operaciones
ivan_escalona@hotmail.com
resnick_halliday@yahoo.com.mx
la_polla_records_emi@yahoo.com.mxç
Estudios de Preparatoria: Centro Escolar Atoyac (Incorporado a la U.N.A.M.)
Estudios Universitarios: Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería yCiencias Sociales y Administrativas (U.P.I.I.C.S.A.) del Instituto PolitécnicoNacional (I.P.N.) – Sexto Semestre
Ciudad de Origen: México, Distrito Federal
Fecha de elaboración e investigación: 30 de Marzo del 2003
Profesor que revisó trabajo: Vergara Nava Leonardo (Catedrático de la Academiade Investigación de Operaciones de la U.P.I.I.C.S.A.)
Enviado por Ivan Escalona Moreno
Contactar mailto:ivan_escalona@hotmail.com
Código ISPN de la Publicación: EpyuVkluEukPMSPxhA
Publicado Thursday 25 de September de 2003
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